满足v^T Nv=0⇒v=0时，Im(N⁻¹AM)与Im(A)是否相等？

先从一个子问题切入，这是我为解决后续主问题提出的尝试方向：

子问题 #

已知：

• $N \in M_{n \times n}$ 是可逆矩阵，$A \in M_{n \times m}$ 是单射矩阵
• $N$ 满足类正定性质：对任意向量$v$，若$v^T Nv = 0$，则必有$v=0$

请问是否有 $\text{Im}(N^{-1}A) = \text{Im}(A)$？

主问题 #

上述子问题是我为解决下面这个主问题所做的尝试之一：

已知：

• $N \in M_{n \times n}$ 可逆，$M \in M_{m \times m}$ 可逆，$A \in M_{n \times m}$
• $N$ 满足类正定性质：对任意向量$v$，若$v^T Nv = 0$，则必有$v=0$

请问是否可以推出 $\text{Im}(N^{-1}AM) = \text{Im}(A)$？

我个人认为这个主问题的答案是成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stph