基于分段常数插值从连续卷积推导离散卷积公式及零阶样条基函数积分

我最近在研究两个零阶样条基函数的积分问题时，尝试通过分段常数插值的方法，从连续卷积推导离散卷积的公式，下面是梳理的相关定义和推导进展：

1. 零阶样条基函数定义 #

零阶样条基函数$\phi^0(x)$的定义如下：
$$\phi^0(x) = \begin{cases} 1; \quad \text{ if } x \in [\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \ 0; \quad \text{ otherwise}\end{cases}$$
注：这里的区间看起来可能存在笔误，通常零阶样条基函数的支撑区间是$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，如果是输入疏漏可以根据实际情况调整

2. 分段常数插值表达式 #

基于上述零阶样条基函数，分段常数插值的表达式为：
$$u(x) = \sum_{i=1}^N \phi^0(x-i) U_i$$

3. 推导过程中的关键方程 #

在从连续卷积推导离散卷积的过程中，我得到了如下核心方程：
$$(u*h)(k) = \sum_{l \in \mathbb{Z}} \sum_{m \in \mathbb{Z}} U_lH_m...$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mon43