关于Gérald Tenenbaum数论著作中下界不等式的矛盾疑问

你完全没搞错推导过程，问题出在你漏掉了原下界的适用范围——数论里这类涉及迭代对数的不等式，几乎不可能对所有正实数x成立，肯定有隐含的x范围限制。

先理清楚你的推导逻辑：

• 原下界（注意你写的方括号应该是向下取整符号$\lfloor \cdot \rfloor$，大概率是排版小失误）：
  $$\left\lfloor \frac{\log( \log x / \log 2 )}{\log 2} \right\rfloor \ge \frac{\log_2 x}{\log 2}- \left( 1 + \frac{1}{\log 2} \right)$$
• 代入$x=2^{2{100}}$时，左边计算下来是100，右边却是一个远大于100的数（毕竟$2^{100}$是个天文数字），这显然矛盾。

核心原因：原不等式的适用范围有限 #

Gérald Tenenbaum的这本书里，这个下界绝对是有前提的——要么是针对足够小的x，要么是在某个特定的数论场景（比如推导素数分布相关结论的中间步骤）下才成立。

你想啊，左边的$\lfloor \log(\log x/\log2)/\log2 \rfloor$本质是迭代对数函数$\log^*x$的变形，增长速度慢到离谱；而右边的$\log_2 x/\log2$是和$\log x$线性相关的，增长快得多。当x足够大时，右边必然会远远超过左边，所以这个不等式不可能对所有大x生效。

建议你回头确认的点 #

翻回原书第10页，仔细看这个不等式的上下文：

• 有没有类似“当$x \le C$（某个具体常数）时”的明确限制？
• 是不是这个不等式只是某个更长推导链里的一步，仅在特定x范围内有用？
• 另外再核对一下符号：原书用的是向下取整还是其他符号？哪怕是向上取整，大x下的矛盾依然存在，核心还是适用范围的问题。

总的来说，你的计算没错，就是没注意到原不等式不是全局成立的，只在x的某个有限区间内有效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Burrrrb