关于信号处理中连续与离散时间傅里叶变换符号的技术问询

嘿，这个问题问到点子上了——Oppenheim在《信号与系统》里用的这两种傅里叶变换符号，可不是随便选的，背后藏着清晰的数学和物理逻辑，我给你拆解清楚：

连续时间傅里叶变换：$X(j\omega)$ #

• 首先，这里的$\omega$是物理角频率，单位是rad/s，对应连续时间信号的实际频率特性。
• 这个符号其实和拉普拉斯变换直接挂钩：连续时间信号的拉普拉斯变换是$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \mathrm{d}t$，当$s$取虚轴上的值（也就是$s=j\omega$）时，拉普拉斯变换就退化成了傅里叶变换。所以用$X(j\omega)$来表示，既点明了它是拉普拉斯变换的特例，也明确了这是连续域的频域结果。
• 完整定义式就是你给出的：
  $$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d}t$$

离散时间傅里叶变换：$X(e^{j\omega})$ #

• 这里的$\omega$是数字角频率，单位是rad，它和物理角频率的关系是$\omega = \Omega T$（$T$是采样周期）。
• 用$e^{{j\omega}$作为变量，核心是突出DTFT的**周期性**：$e}{j(\omega+2\pi)} = e^{j\omega}$，刚好对应离散时间序列的频域结果是周期为$2\pi$的函数，这是离散信号和连续信号频域最本质的区别之一。
• 同时，这也是z变换的特例：离散时间信号的z变换是$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{{-n}$，当$z$取单位圆上的值（也就是$z=e}{j\omega}$）时，z变换就变成了DTFT。所以$X(e^{j\omega})$的符号直接体现了它是单位圆上的z变换结果。
• 完整的定义式应该是：
  $$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$

简单总结一下：Oppenheim的这套符号体系，就是为了让你一眼区分开两种傅里叶变换的本质——一个是虚轴上的拉普拉斯变换（非周期频域），一个是单位圆上的z变换（周期频域），避免混淆两者的特性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者7453rfg