求定义线性变换TU的线性方程组：求解过程与手册答案不符，求解析

首先要明确复合变换TU的定义：TU表示先对向量应用U变换，再将U的输出作为T的输入进行变换，也就是对任意向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2)$，$TU(\boldsymbol{x})=T(U(\boldsymbol{x}))$。

你的步骤里的核心错误 #

我看了你写的推导过程，发现两个关键问题：

• 写错了T变换的第二个分量：你写的$T(c_1,c_2)=(..., c_1 - c_1)$，正确应该是$c_1 - c_2$（对应原T定义里的$y_2=x_1 - x_2$）
• 代入T的输入向量时出现了格式和计算错误，没有完整把U的输出代入T的表达式

正确推导步骤 #

我们一步步来：

1. 先写出U变换的输出
   根据给定的U定义，对任意输入$(x_1,x_2)$，U的输出为：
   $$
   U(x_1,x_2) = (u_1, u_2) = \left( x_1 + x_2,\ x_1 \right)
   $$
   这里用$u_1, u_2$标记U的输出，方便后续代入T。

2. 将U的输出代入T变换
   原T变换的定义是：
   $$
   T(u_1, u_2) = (y_1, y_2) = \left( -3u_1 + u_2,\ u_1 - u_2 \right)
   $$
   把$u_1=x_1+x_2$和$u_2=x_1$分别代入$y_1$和$y_2$的表达式：

   • 计算$y_1$：
     $$
     y_1 = -3u_1 + u_2 = -3(x_1 + x_2) + x_1 = -3x_1 -3x_2 + x_1 = -2x_1 -3x_2
     $$
   • 计算$y_2$：
     $$
     y_2 = u_1 - u_2 = (x_1 + x_2) - x_1 = x_2
     $$

3. 整理TU的线性方程组
   最终TU的线性变换方程组为：
   $$
   \begin{align}
   y_1 &= -2x_1 -3x_2 \
   y_2 &= x_2
   \end{align}
   $$

验证小技巧 #

如果你不确定结果，可以用矩阵乘法来验证：

• T对应的矩阵是$\begin{pmatrix}-3 & 1 \ 1 & -1\end{pmatrix}$
• U对应的矩阵是$\begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}$
• 复合变换TU对应的矩阵是$T \times U = \begin{pmatrix}-3 & 1 \ 1 & -1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -3 \ 0 & 1\end{pmatrix}$
  这个矩阵对应的方程组就是我们上面得到的结果，和教材答案应该一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Justtryingtodomath