映射$g:\mathbb{P}_1 \rightarrow \mathbb{P}_2 ,g(p)(x)=\int_0^x p(t)dt$是否为单射？

我也觉得这个映射$g$应该是单射，但要严谨证明确实得注意细节，先说说我目前的尝试，顺便指出推导里的小问题：

尝试证明映射$g$是单射 #

首先明确：设$x_1, x_2 \in \mathbb{P}_1$（原表述里的$(x_1,x_2)\in\mathbb{P}_1$应该是笔误），假设$g(x_1)=g(x_2)$，即对任意定义域内的$x$，都有：
$$\int_0^x x_1 dt = \int_0^x x_2 dt$$

这里要注意，积分变量是$t$，$x_1$和$x_2$是常数，所以正确的积分结果应该是：
$$x_1 \cdot t \bigg|_0^x = x_2 \cdot t \bigg|_0^x$$
化简后得到：
$$x_1 x = x_2 x$$

如果我们讨论的$x$不恒为0（通常这类映射的场景里，$x$会取非零值），那么两边可以同时除以$x$，直接得到$x_1 = x_2$，这样就严谨证明了$g$是单射。

原推导里把积分结果算成$\frac{1}{2}x_1^2$是个小错误——那是对$x_1$关于$x_1$积分的结果，而这里积分变量是$t$，$x_1$是常数项，所以积分结果应该是$x_1$乘以积分区间的长度~

如果场景中$x$可能取0，也不用担心：单射的定义是“若$g(x_1)$和$g(x_2)$作为函数完全相等，则$x_1=x_2$”，只要存在某个非零$x$使得等式成立，就能推出$x_1=x_2$，不影响整体的单射证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil