如何证明自然数n>1是素数当且仅当n整除(n-2)!-1？

嘿，这个问题其实和经典的威尔逊定理直接挂钩，咱们拆成「当」和「仅当」两个方向一步步推导，思路就清晰了：

首先回忆威尔逊定理：对于素数p，有(p-1)! ≡ -1 mod p（也就是p整除(p-1)! + 1）。

现在假设n是素数p，我们可以把(p-1)!拆成(p-1)×(p-2)!，代入威尔逊定理的式子：
(p-1)×(p-2)! ≡ -1 mod p
注意到p是素数时，p-1 ≡ -1 mod p（因为p-1 = p - 1，模p就是-1），所以上面的式子可以替换成：
(-1)×(p-2)! ≡ -1 mod p
两边同时乘以-1，就得到：
(p-2)! ≡ 1 mod p
这等价于p整除(p-2)! - 1，也就是n整除(n-2)! - 1，必要性得证。

这里咱们用反证法：假设n是大于1的合数，看看会不会导出矛盾。

首先分两种情况讨论：

• 情况1：n=4
  计算(n-2)! = 2! = 2，2-1=1，显然4不整除1，这和「n | (n-2)! -1」的前提矛盾，所以n=4不满足条件。
• 情况2：n是大于4的合数
  既然n是合数，那它必然存在一个正因数d，满足1 < d < n。而且因为n>4，这个d一定小于等于n/2，所以d ≤ n-2（比如n=6时d=2≤4，n=9时d=3≤7）。
  这意味着d是(n-2)!的一个因数（因为(n-2)!是从1乘到n-2，包含d这个数），所以d | (n-2)!。
  但根据前提，(n-2)! ≡ 1 mod n，这意味着(n-2)! = k×n + 1，所以d | (k×n + 1)。又因为d | n，所以d | 1，这和d>1矛盾。

两种合数情况都导出了矛盾，所以假设不成立，n必须是素数，充分性得证。

这样两个方向都证明完了，就得到了「n>1时，n是素数当且仅当n整除(n-2)!-1」的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zhenqing Xu