空间积分计算：给定三重积分的求解方法问询

你的换元思路真的很赞！展开$(z+y+x)^3$确实是吃力不讨好的做法，用$u = x + y + z$来简化积分完全是正确的方向，咱们一步步拆解这个积分：

步骤1：计算最内层对x的积分 #

原积分的最内层是关于x的积分：
$$\int_{0}^{{y+z}\frac{1}{(x+y+z)}3}dx$$

令$u = x + y + z$，则$du = dx$。当$x=0$时，$u = y + z$；当$x=y+z$时，$u = (y+z) + y + z = 2(y+z)$。代入后内层积分变为：
$$\int_{y+z}^{2(y+z)} u^{-3} du$$

计算这个定积分：
$$\left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{y+z}^{2(y+z)} = -\frac{1}{2[2(y+z)]^2} + \frac{1}{2(y+z)^2} = -\frac{1}{8(y+z)^2} + \frac{4}{8(y+z)^2} = \frac{3}{8(y+z)^2}$$

步骤2：计算中间层对y的积分 #

现在积分简化为关于y的单积分：
$$\int_{0}^{z} \frac{3}{8(y+z)^2} dy$$

这里继续换元，令$v = y + z$，则$dv = dy$。当$y=0$时，$v=z$；当$y=z$时，$v=2z$。代入后积分变为：
$$\frac{3}{8} \int_{z}^{2z} v^{-2} dv$$

计算这个定积分：
$$\frac{3}{8} \left[ -\frac{1}{v} \right]_{z}^{2z} = \frac{3}{8} \left( -\frac{1}{2z} + \frac{1}{z} \right) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{2z} = \frac{3}{16z}$$

步骤3：计算最外层对z的积分 #

最后只剩下关于z的积分：
$$\int_{1}^{2} \frac{3}{16z} dz$$

直接计算这个积分：
$$\frac{3}{16} \left[ \ln|z| \right]_{1}^{2} = \frac{3}{16} (\ln2 - \ln1) = \frac{3}{16}\ln2$$

这样整个三重积分的结果就是$\frac{3}{16}\ln2$，是不是比展开三次方简单太多了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tuki