关于一般拓扑学的疑问：连续映射像集的紧性与闭性问题

先把已知条件理清楚：

• 集合 $B = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq x^2+y2 \leq 2}$，这是平面上的闭环形区域，在$\mathbb{R}^2$的标准拓扑下是紧且连通的（度量空间里有界闭集等价于紧集，同时环形本身也是连通的）。
• 设 $A = f(B) \subset X$，其中$X$是任意拓扑空间，$f: \mathbb{R}^2 \to X$是连续映射。题目给出$A$是紧且连通的，但非闭非开。

你的疑问是：

我有个疑惑：如果$A$是紧的，那它应该是闭的，但题目里只说$A$紧且连通，没说它闭。因为多年没接触拓扑学，希望能得到解答。

核心解答：紧子集必闭只在Hausdorff空间成立！ #

你之前的认知（紧集一定是闭集）其实是有前提的——这个结论仅对Hausdorff（豪斯多夫）空间成立，比如我们熟悉的$\mathbb{R}^n$、度量空间都是Hausdorff空间，所以你以前学的时候可能默认了空间满足这个性质，但题目里明确说$X$是任意拓扑空间，这就排除了这个前提。

给你举个直观的例子：

• 取$X$为带有平凡拓扑的空间（也就是只有空集和$X$本身是开集）。在这个拓扑里，任何非空真子集都不是闭集（因为闭集是开集的补集，补集要么是空集要么是$X$），但任何子集都是紧集——不管你怎么取开覆盖，只要用$X$这一个开集就能覆盖它。
• 现在让$f$把$B$映射到$X$里的某个非空真子集$A$，那么$A$满足：
  1. 紧性：连续映射会把紧集映射成紧集，这是对任意拓扑空间都成立的结论；
  2. 连通性：连续映射也会把连通集映射成连通集，同样是普适结论；
  3. 非闭非开：因为平凡拓扑里只有$X$和空集是闭/开集，$A$既不是$X$也不是空集，所以非闭非开。

简单总结一下：

• 连续映射下，紧集的像必紧、连通集的像必连通，这两个性质对所有拓扑空间都成立；
• 但紧子集是否闭，完全取决于空间是否是Hausdorff的——非Hausdorff空间里，紧子集完全可以是非闭的，这就是题目里情况成立的原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zafran