已知三角形形心直线不均分面积，所有多边形均如此？凸凹有差异吗？

嘿，这个问题问到点子上了！先从咱们最熟悉的三角形说起——确实不是所有过三角形形心的直线都能平分面积，只有平行于任意一边的那条过形心的直线才行，其他的过形心直线都会把面积分成不等的两部分。那把这个结论扩展到多边形里，情况就得拆成凸多边形和凹多边形分别唠了：

凸多边形的情况 #

• 首先明确：凸多边形里，过形心的直线也不一定都能平分面积。拿一个长和宽差很多的长方形举例，它的形心就是对角线的交点。如果画一条过形心但既不平行于边也不是对角线的倾斜直线，你一眼就能看出分成的两个部分面积不一样大。
• 当然也有特例：正多边形。所有过正多边形形心的直线都能平分面积，这是因为正多边形有完美的旋转对称性，不管怎么转，过中心的直线都能把它切成完全对称的两半。

凹多边形的情况 #

• 凹多边形的情况就更没规律了，过形心的直线几乎很难保证平分面积，甚至会出现差距很大的情况。
• 比如一个大正方形在角落挖掉一个小正方形形成的凹多边形，它的形心会往剩余的大区域偏移。过这个形心画一条直线，可能刚好只蹭到挖掉部分的边缘，或者切到主体区域的不同位置，面积自然就天差地别。
• 而且凹多边形的形心计算本身就比凸多边形复杂，加上它没有凸多边形的规整性，过形心的直线要平分面积的概率就更低了。

总的来说，除了正多边形这种具有高度对称性的特例，不管是凸多边形还是凹多边形，大部分情况下过形心的直线都不能保证平分面积，凹多边形的情况会更不规律。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Reese