关于Ricci张量嵌套协变导数展开方式的技术问询

嘿，我来帮你把这个协变导数的运算逻辑理清楚～

首先明确：这个表达式的运算顺序必须是先求解内层的协变导数，再对所得结果计算外层的协变导数，原因如下：

• 从基本的运算优先级来说，括号的优先级最高，所以得先搞定括号里的两项：$\nabla_{\mu}(R_{\nu \lambda})$ 和 $\nabla_{\nu}(R_{\mu \lambda})$，这两个都是Ricci张量的一阶协变导数。
• 等你把这两项算出来相加，得到一个新的三阶张量（比如咱们记它为 $T_{\mu \nu \lambda} = \nabla_{\mu}(R_{\nu \lambda}) + \nabla_{\nu}(R_{\mu \lambda})$），再对这个$T_{\mu \nu \lambda}$求关于$\lambda$的协变导数，也就是$\nabla_{\lambda} T_{\mu \nu \lambda}$。

你提到的那种双重协变导数规则（比如$\nabla_a \nabla_b h_{cd}$），是针对同一个张量连续做两次协变导数的情况，和你现在的表达式不是一回事——你现在的外层协变导数是作用在「两个一阶协变导数的和」上，而非直接对Ricci张量连续求两次协变导数。

如果要展开计算的话，步骤大概是这样：

1. 先计算内层的单个协变导数，比如$\nabla_{\mu}R_{\nu\lambda} = \partial_{\mu}R_{\nu\lambda} - \Gamma^{\sigma}{\mu\nu}R{\sigma\lambda} - \Gamma^{\sigma}{\mu\lambda}R{\nu\sigma}$，用同样的方法算出$\nabla_{\nu}R_{\mu\lambda}$；
2. 把这两个结果相加，得到括号里的整体；
3. 最后对这个和式求关于$\lambda$的协变导数，对和式里的每一项都应用协变导数的规则，包括对偏导数再求偏导，以及处理克里斯托费尔符号乘积项的导数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark Pace