何时可在方程两侧除以三角函数？为何sinx=cosx可除以cosx？

这个问题问得特别到位——刚接触三角函数方程的同学几乎都会被这个点绕晕，我来给你理清楚逻辑：

首先得明白为什么大家会说“绝不可随便除以三角函数”：
三角函数（比如sinx、cosx）是周期性取0的，比如cosx在x=π/2 + kπ（k为整数）时等于0，这时候除以0本身就没有意义；更关键的是，如果原方程的解刚好包含这些使三角函数为0的x值，直接除以的话就会把这些解彻底丢掉，也就是你说的“意外消去解”。

那回到你问的sinx = cosx的情况，为什么除以cosx是安全的？其实这里有个容易被忽略的隐含前提：我们除以cosx时，默认了cosx ≠ 0。先在这个前提下解方程：
sinx / cosx = 1 → tanx = 1，得到解x = π/4 + kπ（k∈Z）。

接下来必须做的一步：回头检查cosx = 0的情况，看看这些x值是不是原方程的解。当cosx=0时，x=π/2 +kπ，这时候sinx的值是±1，显然不等于0（也就是cosx的值），所以这些x值根本不满足sinx=cosx。也就是说，我们除以cosx时排除的那些情况，本来就不是原方程的解，自然不会丢解，所以这时候除以cosx完全没问题。

那怎么判断能不能除以一个三角函数？给你两个核心步骤：

• 第一步：先找出你要除以的三角函数的零点（也就是它等于0时的所有x值）
• 第二步：把这些零点代入原方程，验证是否满足方程：
  • 如果这些零点是原方程的解：绝对不能直接除以这个三角函数！这时候应该用移项因式分解的方法来求解，比如解方程sin2x = sinx，不能直接除以sinx（因为sinx=0时x=kπ是解），应该移项得sin2x - sinx = 0，展开后因式分解为sinx(2cosx - 1)=0，这样才能得到所有解。
  • 如果这些零点不是原方程的解：那你可以放心地除以这个三角函数，因为排除的情况本来就不满足原方程，不会丢失任何有效解。

举个反面例子加深理解：比如解方程sinx = 2sinx，如果直接除以sinx会得到1=2，显然荒谬——因为sinx=0时x=kπ是原方程的解，这时候除以sinx就把所有解都丢了，正确做法是移项得sinx=0，直接得到解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sarah P