实数集有界集A,B⊂R：μ(A+B)=μ(A)+μ(B)是否成立？含勒贝格外测度情形

Hey there, let's break down these two questions one by one:

答案是不成立。外测度的核心性质是次可加性（即μ(A+B) ≤ μ(A) + μ(B)），但等号并不具备普遍成立的保证。举个简单直观的例子：

• 取μ为计数外测度（对集合S，μ(S)表示S中元素的个数，无限集则为∞）。
• 令A = {0}，B = {0}，那么A+B = {0+0} = {0}。
• 此时μ(A)=1，μ(B)=1，但μ(A+B)=1，显然1≠1+1，等式不成立。

答案依然是不成立，哪怕A、B是有界集，甚至是勒贝格可测的有界集，也存在经典反例：

• 用康托尔集（Cantor Set）来构造：康托尔集C是[0,1]内的勒贝格可测集，其勒贝格测度μ*(C)=0。
• 计算它的Minkowski和C+C = {x+y | x∈C, y∈C}，可以证明这个集合恰好是[0,2]，对应的勒贝格外测度μ*(C+C)=2。
• 但μ*(C)+μ*(C)=0+0=0，显然2≠0，等式不成立。

当然也存在特殊情况等式成立，比如当A和B都是区间时：假设A=[a,b]，B=[c,d]，那么A+B=[a+c, b+d]，μ*(A+B)=(b-a)+(d-c)=μ*(A)+μ*(B)，这时候等式成立，但这只是特例，并非普遍规律。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ibnAbu