偶数环中元素2为何既非正则元也非奇异元？

嘿，这个困惑的根源其实是你用的正则元定义依赖环有乘法单位元，但偶数构成的环（$2\mathbb{Z}$）根本没有乘法单位元！

咱们一步步理清楚：

• 你给出的定义是：环中元素$x$有逆元就是正则元，否则是奇异元。但逆元的前提是环得有乘法单位元$1$——毕竟逆元的定义是“存在$y$使得$xy=yx=1$”对吧？
• 但偶数集组成的环$2\mathbb{Z}$（用普通的加法和乘法）里，根本不存在这个$1$！因为1不是偶数，你找不到任何一个偶数$a$，能让它乘任意偶数都等于那个偶数本身（也就是单位元的要求）。

这就导致你给的正则元定义在$2\mathbb{Z}$里根本没法用——连逆元的前提都不存在，自然没法说某个元素“有逆元”或者“没有逆元”。

那你为什么会觉得2“既不是正则元也不是奇异元”呢？大概率是混淆了环论里的术语定义：

• 有时候大家会把“正则元”用来指非零因子（也就是找不到非零元素$y$让$xy=0$或$yx=0$），对应的“奇异元”就是零因子。如果按这个定义，2在$2\mathbb{Z}$里确实是正则元——因为你找不到非零偶数$2k$，能让$2*2k=0$（毕竟整数里只有0乘任何数才是0）。但这和你一开始给的“有逆元才是正则元”的定义完全是两回事。
• 要是硬套你给的定义，那$2\mathbb{Z}$里所有元素都没有逆元（因为连单位元都没有），那所有元素都该是奇异元，但你觉得2不是，应该是潜意识里把整数环$\mathbb{Z}$的单位元1拉进来了，但1不在偶数环里，不能这么算哦。

说白了，就是你的定义和讨论的环不兼容——无单位元的环里，“逆元”这个概念本身就不成立，得换个适配的定义才能讨论正则/奇异元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hikaru