国际象棋对局是否会重复？基于香农数的概率问询

这是个很有意思的概率问题，核心其实是生日悖论的延伸，咱们一步步拆解来看：

问题核心转化 #

你提到的场景可以抽象为：从一个包含 (10^{120}) 个独特元素的集合中，随机抽取 (10^{15}) 次（每次抽取后放回），问出现重复元素的概率有多大？

关键参数与概率计算 #

当集合大小 (N) 远大于抽取次数 (k) 时，生日悖论给出了碰撞（重复）概率的近似公式：
[
P \approx \frac{k^2}{2N}
]
代入你给出的数值：

• (N = 10^{120})（香农数下界，实际非短对局数只会更大）
• (k = 10^{15})

计算过程：

P ≈ (10^15)^2 / (2 * 10^120) = 10^30 / 2e120 = 5 * 10^-91

这个概率到底有多小？ #

(5 \times 10^{-91}) 是一个极端微小的数字——举个直观的例子：

• 假设你每秒能完成 (10^{20}) 次这样的抽取实验，从宇宙诞生至今（约 (10^{17}) 秒），你碰到一次重复的概率依然趋近于0。
• 对比一下，你被陨石砸中的概率大概是 (10^{-16})，都比这个重复概率大了75个数量级。

补充：排除短对局的影响 #

你提到要排除短对局，这其实只会让独特对局的集合变得更大（短对局在总对局数里占比极小），代入公式后碰撞概率会进一步降低，所以结论依然成立。

最终结论 #

历史上随机下的国际象棋对局几乎不可能出现重复，这个概率低到完全可以忽略不计。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathmath