求助：若c=gcd(a,b)，求证gcd(a/c,b/c)=1的证明方法

嘿，作为刚接触证明的新手，这种基础数论问题确实容易卡壳，我用两种新手友好的思路给你拆解：

方法1：反证法（新手最容易上手的思路） #

反证法的核心就是假设结论不成立，然后推出和已知条件矛盾的结果，非常适合用来理解这类“互质”的证明：

• 第一步：先把已知条件转成清晰的符号表述
  因为 c = gcd(a,b)，所以存在正整数 m = a/c、n = b/c（题目已经明确这俩是整数）。我们的目标是证明 gcd(m,n) = 1。
• 第二步：假设结论不成立
  假设 gcd(m,n) = d，且 d > 1（d是正整数）。根据公约数的定义，d能同时整除m和n，所以可以写成：
  m = d * m'，n = d * n'，其中 m'、n' 都是正整数。
• 第三步：代回原数找矛盾
  把m和n的表达式代回a和b：
  a = c * m = c * d * m'，b = c * n = c * d * n'
  这时候你会发现，c*d 这个数既能整除a，又能整除b，而且因为 d>1，所以 c*d > c。
• 第四步：矛盾点出现
  我们一开始就定义c是a和b的最大公约数，但现在找到了一个比c更大的公约数 c*d，这完全违背了最大公约数的定义。所以我们的假设（d>1）是错误的，只能是 d=1，也就是 gcd(m,n)=1。

方法2：利用公约数的性质公式 #

如果你已经记住公约数的一个基础性质：gcd(k*x, k*y) = k * gcd(x,y)（k是正整数），那这个证明会更直接：

• 已知 c = gcd(a,b)，而 a = c*(a/c)，b = c*(b/c)，把它们代入上面的性质公式：
  gcd(a,b) = c * gcd(a/c, b/c)
• 因为等式左边就是c，所以代入后得到：
  c = c * gcd(a/c, b/c)
• 两边同时除以c（c是正整数，不为0，除法合法），直接得出：
  1 = gcd(a/c, b/c)

两种方法都能搞定，反证法更偏向从定义出发帮你理解“为什么必须互质”，性质公式法则是快速推导的捷径，这个性质以后也能用到很多数论问题里哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者C.Math