集合与子集可数性问题：判断两个命题的正确性

咱们来一步步拆解这两个命题，再对应选项给出结论：

先明确两个命题 #

• 命题1：若一个集合的所有子集都是可数的，则该集合是可数的。
• 命题2：若一个集合的所有真子集都是可数的，则该集合是可数的。

命题1的正确性分析 #

用逆否命题来推导会更清晰：命题1的逆否命题是“若一个集合不可数，则它存在至少一个不可数子集”。
不可数集合本身就是自己的子集呀！比如实数集$\mathbb{R}$是不可数的，它的子集$\mathbb{R}$本身就是不可数的，这个逆否命题显然成立，所以原命题1必然是正确的。

命题2的正确性分析 #

同样用逆否命题切入：命题2的逆否命题是“若一个集合不可数，则它存在至少一个不可数的真子集”。
假设$A$是一个不可数集合，任取其中一个元素$a\in A$，那么$A\setminus{a}$是$A$的真子集。对于无限集合来说，去掉单个元素后集合的基数和原集合一致，所以$A\setminus{a}$也是不可数的。这就说明逆否命题成立，那原命题2也必然正确。

选项判断 #

两个命题都正确，所以对应选项(d)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Styles