已知p、q为有理数且p<q、q≠0，求证$rac{3}{p-q}$是有理数的疑问

首先先澄清你之前的误解：完全不需要考虑p-q是否等于3，这个条件和证明毫无关系，咱们回到有理数的定义一步步推导就很清晰了。

第一步：先证明$p - q$是非零有理数 #

根据题目已知：p、q都是有理数，且$p < q$。

有理数定义：n是有理数当且仅当存在整数a、b（b≠0）使得$n = \frac{a}{b}$

• 因为p是有理数，所以存在整数$a_1, b_1$（$b_1≠0$），使得$p = \frac{a_1}{b_1}$
• 因为q是有理数，所以存在整数$a_2, b_2$（$b_2≠0$），使得$q = \frac{a_2}{b_2}$

计算$p - q$：
$$
p - q = \frac{a_1}{b_1} - \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{b_1b_2}
$$
这里：

• 分子$a_1b_2 - a_2b_1$是整数（整数的加减乘运算结果都是整数）
• 分母$b_1b_2$是整数且不等于0（因为$b_1、b_2$都不为0）

所以$p - q$是有理数。又因为$p < q$，所以$p - q < 0$，显然不等于0，满足分式分母不为0的要求。

第二步：证明$\frac{3}{p - q}$是有理数 #

首先，3是有理数（因为$3 = \frac{3}{1}$，完全符合有理数的定义）。

我们可以直接用定义推导：
设$p - q = \frac{m}{n}$（其中m、n是整数，$n≠0$，$m≠0$，这是第一步得出的结论），那么：
$$
\frac{3}{p - q} = \frac{3}{\frac{m}{n}} = \frac{3n}{m}
$$
这里：

• 分子$3n$是整数（整数乘整数的结果还是整数）
• 分母m是整数且不等于0（第一步已证$p-q≠0$，即$m≠0$）

这个结果完全符合有理数的定义，所以$\frac{3}{p - q}$是有理数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jariel King