求ℝ²中ℚ×ℚ的内部、闭包与边界（欧氏范数下）

咱们一步步来拆解这个问题，你一开始的几个判断其实都很准，先给你点个赞！

内部（Interior） #

你说得完全没错，$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的内部确实是空集$\emptyset$。原因很简单：在欧氏范数的$\mathbb{R}^2$里，任何非空开集都得包含一个开圆盘（也就是以某个点为中心、半径大于0的圆内部区域）。但不管你取多小的开圆盘，里面一定存在坐标不全是有理数的点——比如随便找个无理数，比如$\sqrt{2}/2$，那点$(\sqrt{2}/2, 0)$肯定在足够小的圆盘里，而它不属于$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$。这就意味着$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$根本没法包含任何非空开子集，内部自然就是空集了。

闭包（Closure） #

$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的闭包是整个$\mathbb{R}^{2$。这得用到有理数在实数里的**稠密性**：任何实数都能被有理数序列无限逼近。那对于$\mathbb{R}}2$里的任意一点$(x,y)$，我们总能找到有理数序列${q_n}$收敛到$x$，有理数序列${r_n}$收敛到$y$，这样${(q_n, r_n)}$就是$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$里的序列，它的极限就是$(x,y)$。根据闭包的定义（集合所有极限点的集合），$\mathbb{R}^2$里的每一个点都是$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的极限点，所以闭包就是整个平面。

边界（Boundary） #

边界的定义是集合的闭包减去内部，也就是$\overline{S} \setminus \text{int}(S)$。这里闭包是$\mathbb{R}^{2$，内部是空集，所以边界就是$\mathbb{R}}2 \setminus \emptyset = \mathbb{R}^{2$。换个直观的说法：随便取$\mathbb{R}}2$里的任何一个点，它的任意小邻域里，既有属于$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的有理数对，也有不属于它的点（比如一个坐标有理、一个无理，或者两个都无理的点），所以每个点都是边界点，整个平面都是它的边界。

集合的开闭性 #

你关于“这个集合既非开集也非闭集”的判断也完全正确：

• 它不是开集：开集的定义是自身等于内部，但$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的内部是空集，显然不等于原集合；或者说它不包含任何点的开邻域，不符合开集的要求。
• 它不是闭集：闭集需要包含所有自身的极限点，但$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$的极限点是整个$\mathbb{R}^2$，远多于它本身，所以肯定不是闭集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PhysicsMathsLove