同胚度量空间中新定义度量与原度量是否等价的技术问询

答案是肯定的，度量$d$和$p$在$X$上是等价的。咱们一步步拆解原因：

首先，得明确两个度量等价的核心判定标准：两个度量等价当且仅当它们在$X$上生成的拓扑完全相同。换个更具体的说法就是：

• 对任意$x \in X$，任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得只要$d(x,y) < \delta$，就有$p(x,y) < \varepsilon$；
• 反过来，对任意$x \in X$，任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得只要$p(x,y) < \delta$，就有$d(x,y) < \varepsilon$。

接下来咱们结合$f$是同胚的条件来验证这两点：

1. 验证$d$到$p$的“连续性”
   因为$f$是$(X,d)$到$(Y,D)$的同胚，首先$f$是连续映射。根据连续映射的定义：对任意$x \in X$，任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$d(x,y) < \delta$时，$D(f(x),f(y)) < \varepsilon$。而根据$p$的定义，$p(x,y) = D(f(x),f(y))$，这不就正好满足了第一个条件吗？

2. 验证$p$到$d$的“连续性”
   同胚的另一个关键性质是逆映射$f^{-1}$也是连续的，它是$(Y,D)$到$(X,d)$的连续映射。咱们取任意$x \in X$，令$z = f(x)$，对任意$\varepsilon > 0$，根据$f^{-1}$的连续性，存在$\delta > 0$，当$D(z,w) < \delta$时，$d(f^{-1}(z), f^{-1}(w)) < \varepsilon$。
   现在把$w$换成$f(y)$，那$D(z,w) = D(f(x),f(y)) = p(x,y)$，而$d(f^{-1}(z), f^{-1}(w)) = d(x,y)$，这就意味着当$p(x,y) < \delta$时，$d(x,y) < \varepsilon$，第二个条件也满足了。

既然两个方向的条件都满足，那度量$d$和$p$生成的拓扑完全一致，自然是等价的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者General Grievous