判断分段函数g是否为单射并验证证明正确性

首先直接给出结论：这个分段函数不是单射，你的思路完全正确，下面我们把证明过程补充完整：

函数定义回顾 #

函数$g$的正式定义为：
$$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \
g(x) =
\begin{cases}
-x+1 & x>0\
-x^2 & x \leq 0
\end{cases}$$

单射的核心定义 #

要判断一个函数是否为单射，关键看：对于任意两个不同的输入值$x_1 \neq x_2$，是否必然有$g(x_1) \neq g(x_2)$。反过来，如果能找到一组不同的输入，它们对应的输出值相等，那这个函数就肯定不是单射。

具体验证你的例子 #

我们来计算你提到的两个值：

• 当$x=-1$时，因为$-1 \leq 0$，代入第二段表达式：$g(-1) = -(-1)^2 = -1$
• 当$x=2$时，因为$2>0$，代入第一段表达式：$g(2) = -2 + 1 = -1$

很明显，$-1 \neq 2$（两个输入完全不同），但它们对应的函数值却相等：$g(-1)=g(2)=-1$。这直接违反了单射的定义，因此函数$g$不是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil