广义蝴蝶定理拓展：圆内线段比例关系证明问询

我把这道几何题和相关思路整理成清晰的Markdown格式啦：

题目内容 #

给定圆$(O)$及弦$AB$，点$I$为弦$AB$上异于$A$、$B$的任意一点，作另外两条弦$CD$和$EF$，使得弦$CE$不与圆的弦$AB$相交。$CF$与$DE$分别交$AB$于点$M$、$N$，求证：
$$\frac{AM\times IB}{IM}=\frac{BN\times IA}{IN}$$
以及
$$\frac{1}{IA}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IM}$$

尝试思路 #

• 很明显，当$IM=IN$这个特殊情况出现时，直接用蝴蝶定理就能轻松解决，这是个不错的切入点。
• 如果是一般情况的话，不妨试试用梅涅劳斯定理或者塞瓦定理对着相关三角形做分析；也可以用坐标法，建个平面直角坐标系，把圆和各个点的坐标代进去算，用代数方法验证等式成立。
• 另外，圆幂定理或者调和点列的性质，说不定也能帮我们找到线段之间的比例关系，一步步推导出要证的等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user061703