用反证法证明直角三角形斜边c < a+b的证明过程解析

咱们来用反证法验证这个命题：若a、b、c为直角三角形三边且c为斜边，则$c<a+b$。

证明过程： #

• 首先提出反假设：假设a、b、c是直角三角形的三边（c为斜边），且$c\geq a+b$。
• 根据直角三角形的勾股定理，我们有$c^2=a2+b^{2$，由此可得$c=\sqrt{a}2+b^2}$。
• 将$c=\sqrt{a^2+b2}$代入反假设的不等式中，得到：$\sqrt{a^2+b2}\geq a+b$。
• 因为a、b都是正数，不等式两边均为非负数，我们可以对两边同时平方，得到：
  $a^2+b2\geq (a+b)^2$
• 展开右边的平方项：$(a+b)^2=a2+b^2+2ab$，代入后不等式变为：
  $a^2+b2\geq a^2+b2+2ab$
• 两边同时减去$a^2+b2$，得到$0\geq2ab$。但a、b作为三角形的边长，必然是正数，所以$2ab>0$，这就和$0\geq2ab$产生了矛盾。

既然反假设导致了矛盾，说明反假设不成立，因此原命题$c<a+b$得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil