如何证明集合$A=\left \{ \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right \}$不是紧集？

你已经完成了最关键的第一步——构造出合适的开覆盖，接下来只需要通过反证法证明这个开覆盖不存在有限子覆盖就可以了，具体步骤如下：

1. 回忆紧集的核心定义：

   一个集合是紧集，当且仅当它的每一个开覆盖都存在对应的有限子覆盖。
   所以我们只需要证明你构造的开覆盖$U = \left { (\frac{1}{n},2):n\in\mathbb{N} \right }$不存在有限子覆盖，就能直接得出$A$不是紧集的结论。

2. 用反证法假设存在有限子覆盖：
   假设存在有限个正整数$n_1, n_2, ..., n_k$（不妨按从小到大排序，即$n_1 < n_2 < ... < n_k$），使得$A \subset \bigcup_{i=1}^k (\frac{1}{n_i}, 2)$。

3. 找出矛盾点：
   考虑集合$A$中的元素$\frac{1}{n_k + 1}$——因为$n_k + 1 \in \mathbb{N}$，所以这个元素显然属于$A$。
   现在看这个元素是否在上述有限并集里：
   由于$n_i \leq n_k$对所有$1 \leq i \leq k$成立，因此$\frac{1}{n_i} \geq \frac{1}{n_k}$，而$\frac{1}{n_k + 1} < \frac{1}{n_k} \leq \frac{1}{n_i}$，这意味着$\frac{1}{n_k + 1}$不在任何一个$(\frac{1}{n_i}, 2)$区间内。

4. 得出结论：
   这就和我们“有限并集覆盖$A$”的假设矛盾了，说明不存在这样的有限子覆盖。因此开覆盖$U$没有有限子覆盖，$A$不满足紧集的定义，故$A$不是紧集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Samad Ahmed