伽马函数相关积分咨询：下述积分能否用闭式或特殊函数表示？

首先得明确：当$b=0$时，这个积分是发散的——因为$t\to0^+$时，被积函数会趋近于$\ln(c/a)/t$，这部分积分在0附近不收敛。所以我们只讨论$b>0$，且$a,c>0$的情况（若其中一个为0，积分同样发散）。

对于$a,c>0$且$b>0$的情况，这个积分确实可以用特殊函数的组合来表示，下面一步步拆解：

第一步：转化为参数积分 #

我们可以把原积分拆成两个部分的差：
$$
\int_{0}^{1}\frac{\log\Gamma(at+b) - \log\Gamma(ct+b)}{t}dt
$$
令$I(k) = \int_{0}^{1}\frac{\log\Gamma(kt+b)}{t}dt$，对$k$求导（交换求导和积分顺序的收敛性可通过Digamma函数的性质验证）：
$$
I'(k) = \int_{0}^{1}\frac{t\cdot\psi(kt+b)}{t}dt = \int_{0}^{1}\psi(kt+b)dt
$$
其中$\psi(z)$是Digamma函数，即$\log\Gamma(z)$的导数。计算这个积分：
$$
I'(k) = \frac{1}{k}\left[\log\Gamma(k+b) - \log\Gamma(b)\right]
$$
那么原积分就是$I(a)-I(c)$，对$I'(k)$从$c$到$a$积分后得到：
$$
I(a)-I(c) = \log\Gamma(b)\cdot\ln\left(\frac{a}{c}\right) - \int_{a}^{c}\frac{\log\Gamma(k+b)}{k}dk
$$

第二步：用特殊函数表示积分项 #

现在问题转化为计算$\int\frac{\log\Gamma(k+b)}{k}dk$，这个积分没有初等闭式，但可以用二重对数函数$\text{Li}_2(z)$、指数积分$\text{Ei}(z)$或者Barnes G函数来表示：

方法1：结合二重对数和指数积分

利用Gamma函数的Binet公式展开$\log\Gamma(z)$：
$$
\log\Gamma(z) = (z-\frac{1}{2})\log z - z + \frac{1}{2}\log(2\pi) + \int_{0}^{{\infty}\frac{e}{-zt}-e^{-t}}{t(et-1)}dt
$$
代入积分并交换顺序（验证绝对收敛后可行），最终可以得到原积分的表达式：
$$
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\log\left(\frac{\Gamma(at+b)}{\Gamma(ct+b)}\right)\frac{dt}{t} &= \log\Gamma(b)\cdot\ln\left(\frac{c}{a}\right) \
&- \left[(c+b)\log(c+b) - c - b\ln c + \left(b-\frac{1}{2}\right)\left(\ln b\cdot\ln c - \text{Li}_2\left(-\frac{c}{b}\right)\right) + \frac{1}{2}\ln(2\pi)\cdot\ln c\right] \
&+ \left[(a+b)\log(a+b) - a - b\ln a + \left(b-\frac{1}{2}\right)\left(\ln b\cdot\ln a - \text{Li}2\left(-\frac{a}{b}\right)\right) + \frac{1}{2}\ln(2\pi)\cdot\ln a\right] \
&+ \int{0}^{{\infty}\frac{e}{-bt}}{t(e^t-1)}\left(\text{Ei}(-ct) - \text{Ei}(-at)\right)dt
\end{align*}
$$
其中：

• $\text{Li}_2(z)$是二重对数函数，定义为$\text{Li}2(z) = \sum{n=1}^{{\infty}\frac{z}n}{n^2}$
• $\text{Ei}(z)$是指数积分，定义为$\text{Ei}(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{et}{t}dt$（适用于$z<0$的情况）

方法2：用Barnes G函数简化（当$b=1$时）

如果$b=1$，$\log\Gamma(1)=0$，此时可以用Barnes G函数（满足$G(z+1)=\Gamma(z)G(z)$，是Gamma函数的多变量推广）来简化表达式：
$$
\int_{0}^{1}\log\left(\frac{\Gamma(at+1)}{\Gamma(ct+1)}\right)\frac{dt}{t} = \log G(a+1) - \log G(c+1) - \frac{1}{2}(\ln^2 c - \ln^2 a) + \frac{1}{2}(a-c) + \frac{1}{2}\ln(2\pi)(\ln a - \ln c)
$$
这个形式更简洁，Barnes G函数在多数数学软件中都有实现，实用性很强。

总结 #

对于$a,c>0$且$b>0$的情况，原积分可以用二重对数函数、指数积分或Barnes G函数的组合表示，属于特殊函数范畴的闭式解；当$b=0$或$a/c=0$时积分发散，不存在有限值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Thomas