关于Atiyah-Macdonald命题5.1中忠实模相关推导的疑问

最近啃Atiyah-Macdonald的命题5.1时，卡在了关键一步推导上，想请教下各位：

命题5.1相关结论：设$B$是一个环，$A$是$B$的子环。若存在一个作为$A$-模有限生成的忠实$A[x]$-模$M$（其中$x \in B$），则$x$在$A$上是整元。

证明里提到要利用$M$的忠实性：考虑由$x$乘法诱导的$M$上的自同态$\varphi$，因为$xM \subseteq M$且$M$是忠实$A[x]$-模，所以存在$a_1, a_2, \dots, a_n \in A$，使得$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$。

我就是搞不懂这最后一步怎么来的——怎么结合$xM \subseteq M$和$M$的忠实性，直接推出$x$满足这个首一多项式呢？有没有大佬能把中间的推导细节拆解清楚呀？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nekodesu