三维联合分布能否由二维边缘分布重构？其可识别性问询

1. 能否通过二维边缘分布重构三维联合分布？ #

答案是不能。二维边缘分布只捕捉了变量两两之间的概率关联，完全丢失了三个变量共同作用的高阶交互信息，所以仅靠二维边缘无法唯一还原出原始的三维联合分布。

我举个离散变量的直观例子帮你理解：假设X、Y、Z都是二元随机变量（取值0或1），我们构造两个截然不同的三维联合分布：

分布1：p₁(x,y,z) #

• p₁(0,0,0) = 0.2, p₁(0,0,1) = 0.1
• p₁(0,1,0) = 0.1, p₁(0,1,1) = 0.2
• p₁(1,0,0) = 0.1, p₁(1,0,1) = 0.2
• p₁(1,1,0) = 0.2, p₁(1,1,1) = 0.1

分布2：p₂(x,y,z) #

• p₂(0,0,0) = 0.1, p₂(0,0,1) = 0.2
• p₂(0,1,0) = 0.2, p₂(0,1,1) = 0.1
• p₂(1,0,0) = 0.2, p₂(1,0,1) = 0.1
• p₂(1,1,0) = 0.1, p₂(1,1,1) = 0.2

现在计算它们的二维边缘分布：

• 对于p(x,y)：两个分布的p(0,0)=0.3，p(0,1)=0.3，p(1,0)=0.3，p(1,1)=0.3，完全一致
• 对于p(x,z)：两个分布的p(0,0)=0.3，p(0,1)=0.3，p(1,0)=0.3，p(1,1)=0.3，完全一致
• 对于p(y,z)：两个分布的p(0,0)=0.3，p(0,1)=0.3，p(1,0)=0.3，p(1,1)=0.3，完全一致

但很明显p₁和p₂是两个完全不同的三维联合分布，这就直接证明了：仅靠二维边缘分布无法重构出唯一的三维联合分布。

2. 已知三个二维边缘分布，三维联合分布是否具有可识别性？ #

答案也是否，即存在多个不同的三维联合分布可以满足相同的三个二维边缘分布，所以不具备可识别性。

上面的例子已经能直接佐证这一点：p₁和p₂拥有完全相同的p(x,y)、p(x,z)、p(y,z)，但它们本身是完全不同的三维分布。这意味着给定三个二维边缘分布，无法唯一确定对应的三维联合分布——可能存在多个解。

本质原因是：三个二维边缘分布只约束了变量两两之间的概率关系，但没有约束三个变量同时取值的联合概率的所有细节，所以会存在自由度，导致多个不同的分布都能满足条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1466742