几乎处处收敛下开集示性函数的下极限不等式求证

咱们可以分两种情况来分析这个结论，结合开集的定义和几乎处处收敛的性质就能明白啦：

• 情况1：$Y \in G$
  因为$G$是开集，根据开集的定义，存在一个包含$Y$的邻域$U$，使得$U \subset G$（简单说就是$Y$周围的一小片区域都在$G$里）。
  又因为$Y_n \to Y$ a.s.（几乎处处收敛），这意味着几乎必然存在某个正整数$N$，当$n \geq N$时，$Y_n$会落到这个邻域$U$里，自然也就属于$G$了。这时候从$N$开始，所有的$1_G(Y_n)$都等于1。
  而下极限$\liminf_{n \to \infty} 1_G(Y_n)$的定义是$\lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} 1_G(Y_k)$，当$n \geq N$时，$\inf_{k \geq n} 1_G(Y_k) = 1$，所以下极限就是1，而$1_G(Y)=1$，显然$1 \geq 1$成立。

• 情况2：$Y \notin G$
  这时候$1_G(Y)=0$，而指示函数$1_G(Y_n)$的值只能是0或者1，所以它的下极限必然是非负的（因为所有的inf值要么是0要么是1，极限肯定≥0），自然就满足$\liminf_{n \to \infty} 1_G(Y_n) \geq 0 = 1_G(Y)$。

总结一下，两种情况都满足$\liminf_{n \to \infty} 1_G(Y_n) \geq 1_G(Y)$，而且因为是几乎处处收敛，这个结论也是几乎处处成立的~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stat_prob_001