向量v=(1,-2,2)与w=(-1,0,3)为何不平行？两向量平行的条件是什么？

Hey，我来帮你把向量平行这个知识点掰扯明白，先从核心判定条件说起，再对照你的例子验证，保证你能懂～

向量平行的核心判定条件（适用于所有维度） #

两个向量平行的本质，就是其中一个向量是另一个向量的非零标量倍数，具体可以拆成这几种等价的判断方式：

• 存在一个非零实数$k$，使得$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$（反过来$\vec{b}=k\cdot\vec{a}$也成立）
• 针对3维向量，还可以用叉积判断：如果$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$（零向量），则两个向量平行
• 更直观的计算方式：两个向量的对应分量成固定比例（注意：如果某个分量是0，另一个向量的对应分量必须也是0，不然比例就没意义了）

验证你的例子：$\vec{v}$和$\vec{w}$为啥不平行？ #

我们用「对应分量成比例」这个方法来验证，一步一步来：

1. 先看第一组分量：$\vec{v}$的第一个分量是1，$\vec{w}$的第一个分量是-1，那如果成比例，比例系数$k$应该是$1 \div (-1) = -1$
2. 再看第二组分量：$\vec{v}$的第二个分量是-2，按照$k=-1$来算，$\vec{w}$的第二个分量应该是$(-2) \div (-1) = 2$，但实际$\vec{w}$的第二个分量是0，完全不匹配
3. 再看第三组分量：$\vec{v}$的第三个分量是2，按$k=-1$算$\vec{w}$的第三个分量应该是$2 \div (-1) = -2$，但实际是3，也不匹配

要是用叉积验证的话，计算结果也能说明问题：

计算$\vec{v} \times \vec{w}$的行列式：
|i   j   k|
|1  -2   2|
|-1  0   3|

= i*(-2*3 - 2*0) - j*(1*3 - 2*(-1)) + k*(1*0 - (-2)*(-1))
= -6i -5j -2k
= (-6, -5, -2)

这个结果不是零向量，所以两个向量肯定不平行。

简单总结下：找不到一个非零的数$k$，能让$\vec{v}$的每个分量乘$k$后都等于$\vec{w}$的对应分量，所以它们不平行～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sam