三角函数无理性：分式平方无理性命题求证及证明正确性核验

嘿，很高兴能帮你核验这个三角函数无理性相关的命题证明！先把命题内容清晰整理如下：

设
$$z_n:=x_ny_n,$$
其中 $x_n, y_n \in \mathbb{R}^{+}$。若
$$z_n\notin\mathbb{Q},$$
证明
$$\left(\frac{x_n-y_n}{\sqrt{(x^2_n+1)(y2_n+1)}-x_ny_n-1}\right)^2\notin\mathbb{Q}$$
或
$$\left(\frac{x_n+y_n}{\sqrt{(x^2_n+1)(y2_n+1)}-x_ny_n+1}\right)^2\notin\mathbb{Q}.$$

我已经完成了该命题的证明，但不确定证明过程是否正确，恳请协助核验我的证明过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Israel Meireles Chrisostomo