证明：若闭集A包含[0,1]中所有有理数，则[0,1]⊂A

设A是闭集，且包含区间[0,1]内的所有有理数r，证明[0,1]⊂A。

你的思路完全走对了！咱们把这个证明补得更严谨清晰一点：

• 采用反证法：假设( [0,1] \not\subset A )，那么必然存在某个无理数( r_1 \in [0,1] )，满足( r_1 \notin A )。
• 因为A是闭集，根据闭集的性质，它的补集（也就是A的外部）是开集。所以( r_1 )作为补集中的点，一定存在一个以它为中心的开邻域( U = (r_1 - \delta, r_1 + \delta) )（其中( \delta > 0 )），使得( U \cap A = \emptyset )。
• 这里用到实数系的核心性质：有理数在实数中是稠密的——换句话说，任何无理数的任意开邻域内，都一定包含有理数。而且这个邻域U和[0,1]的交集里，肯定存在属于[0,1]的有理数q（只要δ足够小，或者直接利用稠密性）。
• 但题目明确给出A包含[0,1]内的所有有理数，所以q∈A。可我们刚才说U和A没有交集，这就产生了矛盾！
• 既然假设导致了矛盾，那说明假设不成立，因此必有( [0,1] \subset A )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Poperton