关于“若(a,b)=m则∀i∈ℤ+，(aⁱ,bⁱ)=m”的证明审核

原命题（含笔误修正） #

若存在正整数(a,b,m)满足(\gcd(a,b)=m)，则对任意正整数(i \in \mathbb{Z}^{+)，有(\gcd(a}i,b^i)=mi)（注：原命题结论误写为(m)，实际应为(m^i)）

原证明内容 #

设存在整数(k,l)，使得(a=km)，(b=lm)，则(a^i=ki m^i)，(bi=l^i m^i)。因(\gcd(k,l)=1 \Rightarrow \gcd(k^i,li)=1)，故(\gcd(k^i m^i,li m^i))的gcd为(m)。

修正后的证明 #

因(\gcd(k,l)=1 \Rightarrow \gcd(k^i,li)=1)，故(\gcd(k^i m^i,li m^{i))的最大公约数为(m)的最高次幂，即(m}i)。

证明点评 #

原证明的推导逻辑框架是对的：先把(a,b)分解成(km)和(lm)的形式，也正确用到了“互素整数的任意正整数次幂仍互素”的性质，但最后一步的结论犯了低级错误——没考虑到(a^i)和(bi)里都包含(m^{i)这个因子。结合(\gcd(k}i,l^{i)=1)，根据最大公约数的基本性质，(\gcd(k}i m^i,li m^i)=mi \cdot \gcd(k^i,li)=m^i)。修正后的证明准确纠正了这个结论错误，同时也间接补全了原命题的笔误问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender