线性回归中因变量Y是否服从正态分布？

首先直接给你答案：不一定——残差服从正态分布，只能说明给定X的条件下Y服从正态分布，但Y的边缘分布（也就是你直接画所有Y值的直方图）完全可能不是单峰高斯形态，这也是线性回归能广泛应用的原因之一。

咱们拆解一下逻辑：

• 线性回归的核心假设是残差$\epsilon$服从正态分布，也就是$\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$，而Y的表达式是$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + ... + \beta_pX_p + \epsilon$。
• 从这个式子能看出来，当给定一组X的值时，Y的分布就是$N(\beta_0 + \beta_1X_1 + ... + \beta_pX_p, \sigma^2)$——这是条件正态分布，只在固定X的前提下成立。
• 但如果不固定X，直接看所有Y的边缘分布，结果就取决于X的分布了。举个简单例子：
  • 假设X是一个二元变量，只有0和1两个取值，当X=0时Y的条件均值是1，X=1时Y的条件均值是5，残差方差都是1。
  • 这时候把所有Y值混在一起画直方图，你会看到两个明显的峰，完全不是单峰高斯分布，但这完全符合线性回归的残差正态假设。

另外补充一点：线性回归的广泛适用性，其实还在于大样本下残差正态性都不是必须的——中心极限定理会让回归系数的估计量渐近服从正态分布，所以哪怕残差不那么正态，只要样本量足够，模型依然能给出可靠的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Wanderer