关于“若|E|=0则函数f可测”的证明问询

咱们先把关键知识点串起来，一步步拆解这个问题：

• 首先明确可测函数的定义：对于定义域为可测集$E$的函数$f:E\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\cup{-\infty,\infty}$，只要对任意实数$a$，集合${x\in E \mid f(x) > a}$（即$E$中所有函数值大于$a$的点构成的集合）是可测集，那么$f$就是可测函数。

• 再回忆零测集的核心性质：在$\mathbb{R}^n$的Lebesgue测度体系下，零测集的任何子集都是可测集，且该子集的测度也为0。这是因为Lebesgue测度是完备测度——所有零测集的子集都被纳入了可测集的范畴。

现在把两者关联起来：
已知$|E|=0$（即$E$是零测集），对于任意$a\in\mathbb{R}$，集合${f>a}$显然是$E$的子集（毕竟只有$E$内的点属于$f$的定义域，才能讨论函数值大小）。根据零测集的性质，这个子集必然是可测集。

这样一来，对任意$a\in\mathbb{R}$，${f>a}$都满足可测的要求，完全符合可测函数的定义，因此$f$是可测函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pre-Hilbert