判断题：若3×7矩阵A满足Ax=b对所有b∈ℝ³有解，则A的秩为3？

咱们从线性代数的核心概念一步步拆解，你就能明白为什么了：

• 首先记住线性方程组 Ax = b 有解的本质条件：向量 b 必须在矩阵 A 的列空间里。列空间就是A所有列向量能张成的向量空间。
• 题目说，对ℝ³里的每一个向量b，Ax=b都有解——这就意味着整个ℝ³都包含在A的列空间里，换句话说，A的列空间就是完整的ℝ³。
• 而矩阵的秩，刚好等于它列空间的维度（也等于行空间的维度）。ℝ³的维度是3，所以A的秩必然是3。
• 再补个小验证：A是3×7矩阵，它最多只有3行，所以行空间的维度上限是3，秩不可能超过3。现在列空间已经占满了ℝ³，维度拉满到3，那秩肯定就是3了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ashley