$\mathbb{Q}_p$完全分歧扩张对应定理及$\mathbb{Q}_2$三次扩张求解咨询

好的，咱们来一步步拆解你的问题：

首先你提到的非分歧扩张和剩余域有限扩张一一对应这个结论是完全正确的，但完全分歧扩张的情况要比非分歧的复杂一些，没有那么直接的“一一对应”关系，不过有几个核心结论可以用来刻画它们：

• 对于$\mathbb{Q}_p$的有限完全分歧扩张$L/\mathbb{Q}_p$，它一定可以表示为$\mathbb{Q}p(\alpha)$，其中$\alpha$是某个Eisenstein多项式的根。这里的Eisenstein多项式是指满足：
  $$f(x)=x^n + a{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$$
  其中每个$a_i \in p\mathbb{Z}_p$，且$a_0 \in p\mathbb{Z}_p \setminus p^2\mathbb{Z}_p$（也就是$v_p(a_0)=1$，$v_p$是$p$进赋值）。
• 反过来，任何Eisenstein多项式的根生成的$\mathbb{Q}_p$扩张都是完全分歧的，且分歧指数等于多项式的次数。
• 但要注意：不同的Eisenstein多项式可能生成同一个扩张，所以完全分歧扩张和Eisenstein多项式之间不是“一一对应”，而是和Eisenstein多项式的等价类（生成相同扩张的多项式视为等价）对应。这和非分歧扩张的简洁对应不同，因为非分歧扩张由剩余域扩张唯一确定，而完全分歧扩张的“参数”是Eisenstein多项式的等价类，或者可以用赋值群的扩张来描述，但没有像剩余域那样直观的代数结构对应。

你已经知道，$\mathbb{Q}_2$的三次扩张分歧指数只能是1（非分歧）或3（完全分歧），非分歧扩张唯一，对应$\mathbb{F}_2$的三次扩张$\mathbb{F}_8$，可以由$\mathbb{F}_8$本原元的极小多项式（比如$x^3+x+1$）生成。下面重点说完全分歧的情况：

构造核心：三次Eisenstein多项式 #

根据上面的结论，$\mathbb{Q}_2$的三次完全分歧扩张都可以由三次Eisenstein多项式生成，这类多项式的形式是：
$$f(x)=x^3 + 2a x^2 + 2b x + 2c$$
其中$a,b,c \in \mathbb{Z}_2$，且$c$是$\mathbb{Z}_2$中的单位（也就是奇数，因为$\mathbb{Z}_2$的单位是模2余1的元素）。这类多项式在$\mathbb{Q}_2$上必然不可约，生成的扩张分歧指数为3，剩余域还是$\mathbb{F}_2$。

具体例子 #

• 例子1：$f(x)=x^3 + 2$，这是标准的Eisenstein多项式，生成扩张$\mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2})$。这个扩张是完全分歧的，因为$\sqrt[3]{2}$的$2$进赋值是$1/3$，符合完全分歧扩张的赋值群扩张特征（$\mathbb{Q}_2$的赋值群是$\mathbb{Z}$，扩张后的赋值群是$\frac{1}{3}\mathbb{Z}$）。
• 例子2：$f(x)=x^3 + 2x + 2$，同样是Eisenstein多项式，生成的扩张$\mathbb{Q}_2(\alpha)$（$\alpha$是它的根）和$\mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2})$不同。你可以通过赋值判断：$\alpha \equiv -1 \mod 2\mathbb{Z}_L$（$L$是扩张域），而$\sqrt[3]{2} \equiv 0 \mod 2^{1/3}\mathbb{Z}_L$，两者在模2下的行为完全不同，因此属于不同的扩张。

扩张的同构判断 #

两个Eisenstein多项式生成同一个扩张的条件是：存在$\mathbb{Q}_2$中的单位$u$和元素$v$，使得其中一个多项式可以通过线性变换$x \mapsto ux + v$转化为另一个的倍数。比如$x^3 + 2$和$x^3 + 6$（即$x^3 + 23$）生成同一个扩张，因为3是$\mathbb{Z}_2$中的单位，且$\sqrt[3]{3} \in \mathbb{Q}_2$（根据Hensel引理，$y^3=3$在$\mathbb{Z}_2$中有解），所以$\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3} \in \mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2})$。

关于Galois性 #

需要注意：$\mathbb{Q}_2$不含三次单位根（因为$x^2+x+1$在$\mathbb{Q}_2$上不可约，生成二次扩张），所以像$\mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2})$这样的扩张不是Galois扩张，它的Galois闭包是六次扩张$\mathbb{Q}_2(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)$（$\zeta_3$是三次单位根），Galois群为$S_3$。而$\mathbb{Q}_2$的Galois三次扩张只有那个非分歧的吗？其实根据类域论，$\mathbb{Q}_2$存在循环三次完全分歧扩张，不过构造起来相对复杂，通常用Eisenstein多项式构造的大多是非Galois的完全分歧三次扩张。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaron Johnson