关于乘积σ代数生成集等式σ{σ(ℰ₁)×σ(ℰ₂)}=σ{ℰ₁×ℰ₂}的证明疑问

嘿，你已经搞定了包含关系的一半，剩下的反向包含其实用λ系（π-λ）定理就能轻松解决，这可是处理σ代数生成元问题的“标配工具”。我给你一步步拆解：

我们的目标是证明：$\sigma\left{ A \times B \mid A \in \sigma(\mathcal{E}_1), B \in \sigma(\mathcal{E}_2) \right} \subseteq \sigma\left{ E_1 \times E_2 \mid E_1 \in \mathcal{E}_1, E_2 \in \mathcal{E}_2 \right}$。要做到这一点，只需要证明所有形如$A \times B$（$A \in \sigma(\mathcal{E}_1), B \in \sigma(\mathcal{E}_2)$）的集合都属于右边的σ代数——毕竟右边的σ代数是包含所有$E_1 \times E_2$的最小σ代数，而左边的σ代数是包含所有$A \times B$的最小σ代数，只要所有$A \times B$都在右边里，左边自然就包含于右边了。

第一步：先搞定$\mathcal{E}_1$中元素和$\sigma(\mathcal{E}_2)$中元素的乘积 #

固定任意一个$E_1 \in \mathcal{E}1$，我们定义一个集合类：
$$\mathcal{G}{E_1} = \left{ B \in \sigma(\mathcal{E}_2) \mid E_1 \times B \in \sigma\left{ E_1' \times E_2' \mid E_1' \in \mathcal{E}_1, E_2' \in \mathcal{E}_2 \right} \right}$$

简单说，$\mathcal{G}{E_1}$就是所有和$E_1$相乘后，结果落在目标σ代数里的$B$的集合。现在我们要证明：$\mathcal{G}{E_1} = \sigma(\mathcal{E}_2)$。

验证$\mathcal{G}_{E_1}$是一个λ系，并且包含$\mathcal{E}_2$：

• 包含$\mathcal{E}_2$：对任意$E_2 \in \mathcal{E}2$，$E_1 \times E_2$本身就是右边σ代数的生成元，自然属于它，所以$E_2 \in \mathcal{G}{E_1}$。
• 对补运算封闭：如果$B \in \mathcal{G}_{E_1}$，那么$E_1 \times B^c = (E_1 \times Y) \setminus (E_1 \times B)$（这里$Y$是$\mathcal{E}2$所在的全空间）。因为右边的σ代数是σ代数，对差运算封闭，所以$E_1 \times B^{c$也属于它，即$B}c \in \mathcal{G}{E_1}$。
• 对不交可数并封闭：如果${B_n}$是$\mathcal{G}{E_1}$里的不交序列，那么$E_1 \times (\bigcup_n B_n) = \bigcup_n (E_1 \times B_n)$。右边是右边σ代数里的可数并，σ代数对可数并封闭，所以这个并集也属于右边σ代数，因此$\bigcup_n B_n \in \mathcal{G}{E_1}$。

根据λ系定理：如果一个λ系包含某个生成σ代数的集合类，那么它就等于这个σ代数。这里$\mathcal{G}_{E_1}$是包含$\mathcal{E}_2$的λ系，而$\sigma(\mathcal{E}_2)$是包含$\mathcal{E}2$的最小σ代数，所以$\mathcal{G}{E_1} = \sigma(\mathcal{E}_2)$。

这意味着：对任意$E_1 \in \mathcal{E}_1$，任意$B \in \sigma(\mathcal{E}_2)$，$E_1 \times B$都属于右边的σ代数。

第二步：推广到$\sigma(\mathcal{E}_1)$和$\sigma(\mathcal{E}_2)$中元素的乘积 #

现在我们把范围扩大，定义另一个集合类：
$$\mathcal{F} = \left{ A \in \sigma(\mathcal{E}_1) \mid \forall B \in \sigma(\mathcal{E}_2), A \times B \in \sigma\left{ E_1' \times E_2' \mid E_1' \in \mathcal{E}_1, E_2' \in \mathcal{E}_2 \right} \right}$$

也就是所有和任意$\sigma(\mathcal{E}_2)$中元素相乘后，结果都在右边σ代数里的$A$的集合。我们要证明$\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{E}_1)$。

同样验证$\mathcal{F}$是λ系，并且包含$\mathcal{E}_1$：

• 包含$\mathcal{E}_1$：根据第一步的结论，对任意$E_1 \in \mathcal{E}_1$，任意$B \in \sigma(\mathcal{E}_2)$，$E_1 \times B$都在右边σ代数里，所以$E_1 \in \mathcal{F}$。
• 对补运算封闭：如果$A \in \mathcal{F}$，那么$A^c \times B = (X \times B) \setminus (A \times B)$（$X$是$\mathcal{E}_1$所在的全空间）。$X \times B$属于右边σ代数，$A \times B$也在右边里，σ代数对差运算封闭，所以$A^c \times B$也在右边里，即$A^c \in \mathcal{F}$。
• 对不交可数并封闭：如果${A_n}$是$\mathcal{F}$里的不交序列，那么$(\bigcup_n A_n) \times B = \bigcup_n (A_n \times B)$。右边是右边σ代数里的可数并，σ代数对可数并封闭，所以这个并集也属于右边σ代数，因此$\bigcup_n A_n \in \mathcal{F}$。

再用一次λ系定理：$\mathcal{F}$是包含$\mathcal{E}_1$的λ系，所以$\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{E}_1)$。

这就说明：对任意$A \in \sigma(\mathcal{E}_1)$，任意$B \in \sigma(\mathcal{E}_2)$，$A \times B$都属于右边的σ代数。

最终结论 #

既然所有$A \times B$都在$\sigma\left{ E_1 \times E_2 \mid E_1 \in \mathcal{E}_1, E_2 \in \mathcal{E}_2 \right}$里，那么$\sigma\left{ A \times B \mid A \in \sigma(\mathcal{E}_1), B \in \sigma(\mathcal{E}_2) \right}$（包含这些$A \times B$的最小σ代数）必然包含于右边的σ代数。

结合你已经证明的$\sigma\left{ E_1 \times E_2 \mid E_1 \in \mathcal{E}_1, E_2 \in \mathcal{E}_2 \right} \subseteq \sigma\left{ A \times B \mid A \in \sigma(\mathcal{E}_1), B \in \sigma(\mathcal{E}_2) \right}$，两个σ代数完全相等，即：
$$\sigma\left{ A \times B \mid A \in \sigma(\mathcal{E}_1), B \in \sigma(\mathcal{E}_2) \right} = \sigma\left{ E_1 \times E_2 \mid E_1 \in \mathcal{E}_1, E_2 \in \mathcal{E}_2 \right}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user5721565