CodeJam挑战题：求解用网球拍击中苍蝇的概率

嘿，咱们先把问题拆解清楚：概率本质就是弦条带覆盖的圆环区域面积 ÷ 整个圆环的面积。下面一步步来算：

1. 先算圆环的总面积 #

这个是基础，外半径R，内半径R-t，所以：

圆环总面积 = πR² - π(R-t)² = π(2Rt - t²)

公式很直观，外圆面积减去内圆面积即可。

2. 计算水平方向条带的总覆盖面积 #

水平条带的轴线是水平直线（外圆的弦），每个条带是距离轴线不超过r的区域（宽度2r），相邻条带的边缘间隙是g，所以两条相邻轴线的距离是 2r + g（条带宽度+间隙）。

2.1 确定水平条带的数量和位置 #

水平轴线的y坐标范围是从 -(R - r) 到 R - r——因为条带的边缘不能超出外圆，所以轴线距离外圆边缘至少r。对称分布的话，中间一根轴线在y=0处，其余上下对称排列。

假设总共有n_h根水平条带，计算方式为：

n_h = floor(2(R - r)/(2r + g)) + 1

如果2(R-r)能被(2r+g)整除，就是刚好的数量；否则向下取整后加1。每根条带的轴线y坐标为：k_i = -(R - r) + i*(2r + g)，其中i从0到n_h-1。

2.2 单根水平条带在圆环内的覆盖面积 #

对于轴线为y=k的水平条带，它在圆环内的面积等于外圆内y∈[k-r, k+r]的区域面积减去内圆内y∈[k-r, k+r]的区域面积。

用几何积分公式计算：

• 外圆在y∈[a,b]的面积：

  A_outer(a,b) = R²[arcsin(b/R) - arcsin(a/R)] + b√(R² - b²) - a√(R² - a²)
  

  注意边界情况：如果a ≤ -R，就把a换成-R；如果b ≥ R，就把b换成R；如果a ≤ -R且b ≥ R，那就是整个外圆面积πR²。
• 内圆在y∈[a,b]的面积，把上面公式里的R换成R-t即可，记为A_inner(a,b)。

所以单根水平条带的覆盖面积：

A_h(k) = A_outer(k-r, k+r) - A_inner(k-r, k+r)

2.3 所有水平条带的总覆盖面积 #

把每根水平条带的A_h(k)加起来就是：

S_h = Σ A_h(k_i) ，i从0到n_h-1

3. 垂直方向条带的总覆盖面积 #

因为垂直条带和水平条带完全对称，所以垂直条带的总覆盖面积S_v = S_h。

4. 计算水平与垂直条带的交叉重叠面积 #

这里要注意：水平和垂直条带的交叉区域被重复计算了一次（在S_h和S_v里各算一次），所以需要减去这部分的总面积。

对于每一对水平条带（轴线y=k）和垂直条带（轴线x=m），它们的交叉区域是一个边长为2r的正方形（或正方形与圆环的交集），满足|x - m| ≤ r且|y - k| ≤ r，同时在圆环内。

这个交叉区域的面积A_c(k,m)需要分情况计算：

• 如果整个正方形都在圆环内：面积就是(2r)²=4r²。
• 如果正方形部分在外圆或内圆外：计算正方形在外圆内的部分面积，减去正方形在内圆内的部分面积。

所有交叉区域的总面积就是：

S_c = Σ Σ A_c(k_i, m_j) ，i从0到n_h-1，j从0到n_v-1

其中n_v是垂直条带的数量，和n_h相等。

5. 最终计算击中概率 #

总覆盖面积是水平加垂直减去重叠部分：

S_total = S_h + S_v - S_c = 2S_h - S_c

所以击中概率：

P = S_total / 圆环总面积 = (2S_h - S_c) / [π(2Rt - t²)]

特殊情况简化 #

如果r和g都远小于R和t，条带数量很多，可以近似计算：
单方向的覆盖占比约为2r/(2r+g)，考虑交叉重叠后，总覆盖占比近似为：

(2r/(2r+g))*(2 - 2r/(2r+g))

此时概率就近似等于这个值（因为圆环区域均匀），这个简化只在条带非常密集时成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Perplexabot