求由2015个含1至2015个9的数的乘积T的最后三位数字

首先，我们的目标是计算$T = 9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{999\ldots9}_{2015个9}$的最后三位数字，也就是求$T \mod 1000$的值。

关键观察： #

• 对于位数≥3的数（从第三个因数$\underbrace{999}{3个9}$开始，到最后一个$\underbrace{999\ldots9}{2015个9}$），它们的最后三位都是999，因此在模1000下等价于$-1$（因为$999 = 1000 - 1 \equiv -1 \mod 1000$）。
• 前两个因数分别是9和99，它们的乘积为$9 \times 99 = 891$。

计算过程： #

总共有2015个因数，其中前2个是9和99，剩下的$2015 - 2 = 2013$个因数都等价于$-1 \mod 1000$。

我们可以把$T$的模1000运算转化为：

T ≡ 9 × 99 × (-1)^2013 mod 1000

分步拆解计算：

1. 先算前两个数的乘积：$9 \times 99 = 891$
2. 计算$(-1)^{2013}$：因为2013是奇数，结果为$-1$
3. 最后相乘取模：$891 × (-1) = -891$，而$-891 \mod 1000 = 1000 - 891 = 109$

结论： #

T的最后三位数字是109。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli