随机微分方程弱解的存在性证明求助：以给定SDE为例

嘿，我来帮你拆解这个随机微分方程（SDE）弱解存在性的证明思路，这个例子是带奇异性的经典SDE，咱们一步步来理清楚：

首先先明确弱解的核心定义：我们需要找到一个概率空间$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$、一个定义在这个空间上的标准布朗运动$B_t$，以及一个适应于布朗运动滤波的连续过程$X_t$，使得对所有$t\in[0,T]$，等式
$$X_t = X_0 + \int_0^t dB_s + \int_0^t \sqrt{X_s} ds$$
几乎处处成立，且$X_0=0$ $\mathbb{P}$-a.s.（几乎必然）。

这个方程的难点在于漂移项$\sqrt{x}$在$x=0$处不满足Lipschitz条件（导数无界），所以常规的强解存在性定理（比如Picard迭代）用不了，得用弱解的构造方法，这里推荐两种常用思路：

方法一：尺度变换+已知Bessel过程的性质 #

我们可以借助已知有弱解的3维Bessel过程来构造目标解：

• 首先回忆3维Bessel过程$R_t$的SDE：
  $$dR_t = dB_t + \frac{1}{2R_t} dt, \quad R_0 = x>0$$
  这个过程的弱解是存在的，而且它从正初值出发时，几乎不会到达0，轨道连续且适应。
• 做尺度变换：令$X_t = \frac{1}{16} R_{4t}^2$，代入伊藤公式验证：
  $$dX_t = \frac{1}{8} R_{4t} dR_{4t} + \frac{1}{16} d\langle R,R\rangle_{4t}$$
  把$dR_{4t} = dB_{4t} + \frac{1}{2R_{4t}} dt$和$\langle R,R\rangle_{4t}=4t$（布朗运动的二次变差是时间）代入：
  $$dX_t = \frac{1}{8} R_{4t} (dB_{4t} + \frac{1}{2R_{4t}} dt) + \frac{1}{16} \cdot 4 dt$$
  化简后：
  $$dX_t = \frac{1}{8} R_{4t} dB_{4t} + \frac{1}{16} dt + \frac{1}{4} dt$$
  注意到$\frac{1}{8} R_{4t} dB_{4t}$其实是一个标准布朗运动的微分（因为$B_{4t}$是方差为4t的布朗运动，$\frac{1}{2}B_{4t}$是标准布朗运动，所以$\frac{1}{8}R_{4t}dB_{4t} = \frac{1}{4}R_{4t}d(\frac{1}{2}B_{4t})$，而$X_t=\frac{1}{16}R_{4t}^2$，所以$\sqrt{X_t}=\frac{1}{4}R_{4t}$，因此：
  $$dX_t = d\left(\frac{1}{2}B_{4t}\right) + \sqrt{X_t} dt$$
  令$B_t' = \frac{1}{2}B_{4t}$，这是一个标准布朗运动，于是$X_t$满足原SDE：
  $$dX_t = dB_t' + \sqrt{X_t} dt, \quad X_0 = \frac{1}{16}R_0^2$$
  再让$R_0 \to 0$，取极限后$X_0 \to 0$，就得到了从0出发的弱解。

方法二：近似方程+紧性论证（更通用的弱解构造思路） #

如果对Bessel过程不熟悉，用近似+极限的方法更通用：

1. 构造近似SDE：对每个$\epsilon>0$，考虑初值为$\epsilon$的近似方程：
   $$dX_t^\epsilon = dB_t + \sqrt{X_t^\epsilon} dt, \quad X_0^\epsilon = \epsilon$$
   虽然$\sqrt{x}$不是全局Lipschitz，但对于$x\geq\epsilon>0$，它是局部Lipschitz的，且满足线性增长（$\sqrt{x} \leq 1+x$），所以这个近似方程在$[0,T]$上有唯一强解$X_t^\epsilon$，且解始终为正（因为漂移项非负，布朗运动的波动不会让它跌到0以下）。

2. 证明近似解序列的紧性：根据Prokhorov定理，只要证明${X^\epsilon}_{\epsilon>0}$在连续函数空间$C([0,T];\mathbb{R})$上是tight的（即概率测度序列相对紧）：

   • 先估计期望：对$\mathbb{E}[X_t^{\epsilon]$用伊藤公式，可得$\mathbb{E}[X_t}\epsilon] \leq (\sqrt{\epsilon} + T/2)^2$，当$\epsilon\to0$时，这个界是一致有界的。
   • 再估计增量的矩：$\mathbb{E}[(X_t^\epsilon - X_s^\epsilon)2] \leq C(t-s) + C(t-s)^{2$（C是常数），满足Kolmogorov紧性准则的条件，因此序列${X}\epsilon}$是tight的。

3. 取极限得到弱解：根据Prokhorov定理，存在子序列$\epsilon_n \to 0$，使得$X^{\epsilon_n}$依分布收敛到某个连续过程$X_t$。接下来验证这个极限过程满足原SDE：
   对近似方程$X_t^{\epsilon_n} = \epsilon_n + B_t + \int_0^t \sqrt{X_s^{\epsilon_n}} ds$，当$n\to\infty$时，$\epsilon_n\to0$，积分项$\int_0^t \sqrt{X_s^{\epsilon_n}} ds$依分布收敛到$\int_0^t \sqrt{X_s} ds$，同时通过调整概率空间（弱解允许更换概率空间和布朗运动），可以构造出对应的标准布朗运动$B_t'$，使得$X_t$满足原SDE。

额外补充 #

这个SDE的弱解不仅存在，而且分布唯一（即所有弱解的轨道分布都相同），它是一个从0出发的连续非负扩散过程，常被称为平方根扩散过程，在金融、随机建模中很常见。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user427574