无限度量空间非离散情形：补集无限的无限开集存在性求证求助

嘿，咱们来一步步拆解这个非离散情形的构造思路，核心就是利用非离散空间里的「非孤立点」或者「无限离散子集」特性来动手：

方法一：从无限离散子集入手（通用且好理解） #

不管空间是不是非离散，无限度量空间一定能掏出一个无限的离散子集——这是个实用的小结论，咱们来构造它：

• 先随便抓个点 ( x_1 \in M )；
• 接下来第n步，找 ( x_n \in M \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B(x_k, 1/k) )，这样能保证每个 ( x_n ) 和之前的点距离都不小于 ( 1/k )，所以每个 ( x_n ) 都有个专属小开球 ( B(x_n, 1/(2n)) )，这个球里除了 ( x_n ) 不会有其他子集里的点。

拿到这个无限离散子集 ( A = {x_1, x_2, ...} ) 之后就简单了：

• 把A劈成两个无限的不相交子集，比如A₁是所有下标偶数的点，A₂是奇数下标的；
• 定义开集 ( U = \bigcup_{x \in A_1} B(x, 1/(2k)) )（k是x在A里的下标）。
  • U肯定是开集，毕竟是开球的并；
  • U是无限的，因为它包含整个A₁；
  • 补集M\U也是无限的，它包含整个A₂（这些点的专属开球不在U里，而且U的开球碰不到它们），再加上M里剩下的点，怎么着都是无限的。

方法二：利用非孤立点的特性（更贴合题目提示） #

题目说非离散，那肯定存在至少一个非孤立点x——也就是{x}不是开集，意味着x的任何邻域里都有除了x之外的点，甚至能找出一个无限序列 ( {x_n} \subseteq M\setminus{x} ) 让 ( d(x, x_n) \to 0 )（比如每次取 ( x_n \in B(x, 1/n)\setminus{x} )）。

接下来这么干：

• 把这个序列拆成两个无限部分X₁和X₂；
• 给序列里的点安排上严格递减的距离，比如让 ( d(x_1, x)=1 )，( d(x_2, x)=1/2 )，( d(x_3, x)=1/4 )... 这样每个 ( x_n ) 的开球 ( B(x_n, d(x_n,x)/2) ) 都不会和其他点的开球重叠，也碰不到x；
• 构造 ( U = \bigcup_{y \in X_1} B(y, d(y,x)/2) )，这个U是无限的（包含X₁），补集包含x和X₂，也是无限的，完美符合要求。

两种方法都能搞定，你可以根据自己的习惯选一种来写证明～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paarth