如何定义特征函数？基于核与沙普利值的团队奖励分配建模问询

首先，我们得先理清**特征函数（Characteristic Function）**的核心作用：它用来定义任意选手联盟（子集）能独立获取的「价值」，这是计算沙普利值和核的基础。针对你的问题，我整理了两种合理的特征函数定义，分别对应不同的分配逻辑：

一、基于胜场贡献的特征函数（最贴合问题场景） #

这个定义的核心是把18份餐食看作S队获胜的总价值，每个联盟的价值等于该联盟选手胜场数占S队总胜场的比例乘以总奖励。

已知S队总胜场为5+3+2=10场，总奖励18份，我们可以这样定义：

• 空联盟：v(∅) = 0（没有选手，自然拿不到任何奖励）
• 单点联盟：
  • v({A}) = (5/10)*18 = 9（A的5场胜利占总胜场一半，对应9份餐食）
  • v({B}) = (3/10)*18 = 5.4（B的3场胜利对应5.4份）
  • v({C}) = (2/10)*18 = 3.6（C的2场胜利对应3.6份）
• 双人联盟：
  • v({A,B}) = ((5+3)/10)*18 = 14.4（A+B共赢8场，对应14.4份）
  • v({A,C}) = ((5+2)/10)*18 = 12.6（A+C共赢7场，对应12.6份）
  • v({B,C}) = ((3+2)/10)*18 = 9（B+C共赢5场，对应9份）
• 完整联盟：v({A,B,C}) = 18（全队获胜，拿到全部奖励）

1. 计算沙普利值 #

沙普利值的公式是：
φ(i) = Σ_{T⊆S\{i}} [v(T∪{i}) - v(T)] * (|T|! * (n - |T| - 1)! ) / n!
其中n=3（选手总数）。

选手A的沙普利值：

• T=∅：(9-0)*(0!*2!)/6 = 9*2/6 = 3
• T={B}：(14.4-5.4)*(1!*1!)/6 = 9*1/6 = 1.5
• T={C}：(12.6-3.6)*(1!*1!)/6 = 9*1/6 = 1.5
• T={B,C}：(18-9)*(2!*0!)/6 = 9*2/6 = 3
  总和：3+1.5+1.5+3 = 9

选手B的沙普利值：

• T=∅：(5.4-0)*(0!*2!)/6 = 5.4*2/6 = 1.8
• T={A}：(14.4-9)*(1!*1!)/6 = 5.4*1/6 = 0.9
• T={C}：(9-3.6)*(1!*1!)/6 = 5.4*1/6 = 0.9
• T={A,C}：(18-12.6)*(2!*0!)/6 = 5.4*2/6 = 1.8
  总和：1.8+0.9+0.9+1.8 = 5.4

选手C的沙普利值：

• T=∅：(3.6-0)*(0!*2!)/6 = 3.6*2/6 = 1.2
• T={A}：(12.6-9)*(1!*1!)/6 = 3.6*1/6 = 0.6
• T={B}：(9-5.4)*(1!*1!)/6 = 3.6*1/6 = 0.6
• T={A,B}：(18-14.4)*(2!*0!)/6 = 3.6*2/6 = 1.2
  总和：1.2+0.6+0.6+1.2 = 3.6

这个结果很直观：因为我们的特征函数是可加函数（联盟价值等于各成员单点价值之和），所以沙普利值刚好等于每个选手胜场比例对应的餐食份额，完美体现了个体贡献差异。

2. 计算核（Core） #

核是满足两个条件的分配方案集合：

1. 总分配等于总价值：x_A + x_B + x_C = 18
2. 任意联盟T的成员分配之和不小于联盟的特征函数值：Σ_{i∈T}x_i ≥ v(T)

对于这个可加特征函数，核是唯一的分配方案：(x_A, x_B, x_C) = (9, 5.4, 3.6)。任何其他分配都会违反约束，比如给A少于9份的话，联盟{A}的分配和就会小于v({A})=9，不符合核的要求。

二、基于「联盟能否独立获胜」的特征函数（极端场景） #

另一种思路是：只有当联盟T的选手能单独赢得足够比赛让S队获胜（即胜场≥9场，因为18场比赛赢9场才算平局，赢10场获胜），联盟T的价值才是18，否则为0。

定义如下：

• v(∅)=0
• v({A})=0（仅赢5场，不足以让S队获胜）
• v({B})=0（仅赢3场，不足）
• v({C})=0（仅赢2场，不足）
• v({A,B})=0（共赢8场，未达9场）
• v({A,C})=0（共赢7场，不足）
• v({B,C})=0（共赢5场，不足）
• v({A,B,C})=18（全队赢10场，成功获胜）

1. 沙普利值计算 #

此时每个选手的沙普利值是平均分配：φ(A)=φ(B)=φ(C)=6。因为只有完整联盟能拿到价值，每个选手的边际贡献只有在加入最后一个缺失的联盟时才为18，而所有排列的概率均等，所以每人分得18/3=6份。

2. 核的计算 #

核包含所有满足x_A+x_B+x_C=18且x_A≥0, x_B≥0, x_C≥0的分配方案——因为所有非完整联盟的特征函数都是0，只要分配非负且总和为18即可。但这个定义明显不合理，它完全忽略了选手个体的胜场差异，没有体现不同选手的实际贡献。

总结 #

优先推荐基于胜场贡献的特征函数，它能精准反映每个选手的实际贡献，对应的理论分配方案是：A得9份，B得5.4份，C得3.6份。如果需要整数分配，可以适当调整（比如A9份、B5份、C4份，总和刚好18），但理论上的精确分配就是上述小数结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Θοδωρής Φλώκος