台球在两条射线间反弹次数求解：基于α、β与AX=AR'条件

首先得明确几个关键定义（题目里没说全，我先补全，这样推导才清晰）：

• 设两条射线AX和AR'的夹角为β（这是问题里提到的变量，肯定是这个核心夹角）；
• 题目里的“入射角α”，我默认是入射光线与AX法线的夹角（符合光学反射的标准定义），所以入射光线与AX本身的夹角就是 90° - α（用弧度制的话就是 π/2 - α）。

用镜像法简化问题 #

这种反弹问题最省心的解法就是镜像法——把反复反弹的折线路径转化为一条直线，瞬间就清晰了：

• 把射线AR'沿着AX一次次镜像，得到一系列镜像射线 AR₁, AR₂, ..., ARₙ，其中第k条镜像射线和AX的夹角是 kβ；
• 台球在AX上的第一次反射路径，完全等价于入射光线关于AX的镜像直线——这条直线和哪几条镜像射线相交，就对应台球在AR'（或其镜像）上的几次反弹；
• 当这条直线不再和下一条镜像射线相交时，台球就不会再反弹了。

推导反弹次数公式 #

我们要找最大的整数k，使得镜像直线能和第k条镜像射线ARₖ相交，条件就是：
kβ ≤ 90° - α（弧度制替换成 kβ ≤ π/2 - α）

这里的k就是台球在AR'上的反弹次数（包括首次的C点）。但题目问的是两条射线上的总反弹次数（含C点），AX上的反弹次数是k-1次（每两次AR'反弹之间有一次AX反弹），所以总反弹次数N就是：
N = k + (k - 1) = 2k - 1

把k代入（k是向下取整后的结果，用floor()表示），最终公式为：
N = 2 * floor( (90° - α)/β ) - 1

如果题目里的α是入射光线与AX的夹角（非标准入射角定义），只需要把公式里的 90° - α 换成α即可，公式变为：
N = 2 * floor( α/β ) - 1

举个例子验证 #

比如α=30°（入射角，即入射光线与法线夹角），β=20°，那么 (90-30)/20=3，向下取整得3，总反弹次数N=2*3-1=5次：

1. 第1次：C点（AR'上）
2. 第2次：AX上的点
3. 第3次：AR'上的点
4. 第4次：AX上的点
5. 第5次：AR'上的点
   之后台球就会离开两条射线的范围，不再反弹。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者myriagon