$\mathbb R^2$中区域方向求解及集合$S=\{x:x_1+2x_2\le 4\}$相关问题咨询

嘿，咱们一步步把这个问题理清楚！你说的集合$S={(x_1,x_2)\in\mathbb R^2 \mid x_1+2x_2\le4}$确实没有极点——它是个无界的半平面，不存在那种不能表示为集合内其他点凸组合的“顶点”。接下来咱们先搞定方向的求解，再验证表示定理。

你已经给出了方向的严格定义：对于$\mathbb R^n$中的集合$S$，非零向量$d$是$S$的方向当且仅当：对任意$x\in S$、任意$\lambda\ge0$，都有$x+\lambda d\in S$。
这里要注意$d$必须是非零向量，零向量没有实际意义。

咱们把条件代入集合$S$的约束来推导：
取任意$x=(x_1,x_2)\in S$（满足$x_1+2x_2\le4$），任意$\lambda\ge0$，非零向量$d=(d_1,d_2)$，要让$x+\lambda d\in S$，即：
$$(x_1+\lambda d_1) + 2(x_2+\lambda d_2) \le 4$$
展开左边整理得：
$$(x_1+2x_2) + \lambda(d_1+2d_2) \le 4$$
因为$x\in S$，所以$x_1+2x_2\le4$，现在这个不等式要对所有$x\in S$和$\lambda\ge0$都成立，必须满足什么？

• 假设$d_1+2d_2>0$：当$\lambda$取足够大的正数时，$\lambda(d_1+2d_2)$会变得很大，左边就会超过4，不满足约束，排除这种情况。
• 假设$d_1+2d_2=0$：左边就等于$x_1+2x_2\le4$，刚好符合$x\in S$的条件，不管$\lambda$多大都成立，所以这类向量是方向。
• 假设$d_1+2d_2<0$：$\lambda(d_1+2d_2)$是负数，左边会比$x_1+2x_2$更小，自然满足$\le4$，对所有$\lambda\ge0$都成立，所以这类向量也是方向。

综上，$S$的所有方向就是所有满足$d_1+2d_2\le0$的非零向量$d=(d_1,d_2)$。

极方向是方向中的“不可分解”成员：如果一个方向$d$能表示为两个不同方向$d_1,d_2$的非负线性组合（即$d=\lambda_1d_1+\lambda_2d_2$，$\lambda_1,\lambda_2>0$），那它就不是极方向；反之则是。
对于$S$这个半平面，极方向有两类：

1. 平行于边界的方向：也就是满足$d_1+2d_2=0$的非零向量，比如$d_1=(2,-1)$（沿边界向右下）和$d_2=(-2,1)$（沿边界向左上）。这两个方向不能互相表示为对方的非负线性组合，也不能和内部方向组合出来，所以是极方向。
2. 指向半平面内部的方向：比如$d_3=(-1,0)$（向左）、$d_4=(0,-1)$（向下），这类方向也不能被其他方向的非负线性组合表示，所以也是极方向。

实际上，我们只需要两个线性无关的极方向就能表示所有方向。比如用$d_1=(2,-1)$和$d_3=(-1,0)$：
任意满足$d_1+2d_2\le0$的向量$d=(d_1,d_2)$，都可以写成：

• 如果$d_2\le0$：令$k=-d_2\ge0$，$t=-(d_1+2d_2)\ge0$，则$d=k*(2,-1)+t*(-1,0)$
• 如果$d_2>0$：令$k=d_2\ge0$，$t=-(d_1+2d_2)\ge0$，则$d=k*(-2,1)+t*(-1,0)$

因为$S$是无界凸集且无极点，根据凸集的表示定理，$S$内任意一点可以表示为某个固定点加上极方向的非负线性组合。
举个例子，取固定点$x_0=(4,0)$（在$S$的边界上），任意$x=(x_1,x_2)\in S$（满足$x_1+2x_2\le4$）：
令$t=4-(x_1+2x_2)\ge0$，则：

• 若$x_2\ge0$：$x=(4,0)+x_2*(-2,1)+t*(-1,0)$，其中$x_2,t\ge0$
• 若$x_2<0$：令$k=-x_2>0$，则$x=(4,0)+k*(2,-1)+t*(-1,0)$，其中$k,t\ge0$

这样就把任意$x\in S$表示成了固定点加极方向的非负线性组合，完全符合定理要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user441848