求证分划Young图中∑(h(x)²−c(x)²)=|λ|²——Macdonald著作自学疑问

嘿，我最近自学Macdonald的《对称函数与霍尔多项式》时也碰到过这个没给证明的例子，卡了好一会儿，后来用归纳法结合角落块的性质搞定了，分享一下我的思路：

先明确所有必要定义 #

先把容度的标准定义补全（Macdonald书里应该也是这个）：

• 对于分划$\lambda$的Young图中的块$x=(i,j)$（$i$是行号，$j$是列号）：
  • 钩长：$h(x)=h(i,j)=\lambda_i + \lambda'_j - i - j + 1$，其中$\lambda'$是$\lambda$的转置分划（把Young图沿对角线翻转得到的分划）
  • 容度：$c(x)=c(i,j)=j - i$
• $|\lambda|$是分划$\lambda$的大小，也就是Young图里所有块的总数，记为$n$。

用数学归纳法证明 #

基例：$n=1$ #

当$\lambda=(1)$时，Young图只有一个块$x=(1,1)$：

• $h(x)=1+1-1-1+1=1$
• $c(x)=1-1=0$
  左边求和结果是$1^2 - 0^{2=1$，右边是$1}2=1$，等式成立。

归纳假设 #

假设对于所有大小小于$n$的分划$\mu$，等式$\sum_{x∈μ}(h(x)²−c(x)²)=|μ|²$成立。

归纳步骤 #

考虑大小为$n$的分划$\lambda$，我们找它Young图中的一个角落块$x=(i,j)$——也就是既是所在行的最后一个块，也是所在列的最后一个块（满足$\lambda_i=j$且$\lambda'_j=i$）。去掉这个块后得到分划$\mu$，显然$|\mu|=n-1$。

我们需要计算：
$$
\sum_{x∈λ}(h(x)²−c(x)²) = \sum_{x∈μ}(h(x)²−c(x)²) + \Delta
$$
其中$\Delta$是去掉角落块后，原有块的钩长变化带来的贡献，加上新增角落块的贡献。

分情况计算$\Delta$

1. 原有块的钩长变化：

   • 对于$\mu$中不在第$i$行、第$j$列的块：钩长和容度都不变，无贡献。
   • 对于$\mu$中第$i$行的块（共$j-1$个）：因为$\lambda$的第$i$行比$\mu$多了一个块，这些块的钩长都增加了1，每个块的贡献变化是$(h+1)^2 - h^2 = 2h+1$。
     第$i$行在$\mu$中的钩长是$j-1, j-2, ..., 1$，和为$\frac{(j-1)j}{2}$，所以这部分总变化是$2\cdot\frac{(j-1)j}{2} + (j-1) = j(j-1)+j-1 = j^2-1$。
   • 对于$\mu$中第$j$列的块（共$i-1$个）：同理，钩长都增加1，总变化是$i^2-1$。

2. 角落块的贡献：
   新增的角落块$x=(i,j)$的钩长$h(x)=1$（因为它是行尾和列尾，没有右边和下边的块），容度$c(x)=j-i$，所以贡献是$1^2 - (j-i)^2 = 1 - (j^2-2ij+i2)$。

合并$\Delta$

把上面几部分加起来：
$$
\begin{align*}
\Delta &= (j^2-1) + (i^2-1) + 1 - (j^2-2ij+i2)\
&= j^2-1+i2-1+1-j^2+2ij-i2\
&= 2ij -1
\end{align*}
$$
注意到角落块$(i,j)$对应的$\lambda$的大小$n=ij$（因为$\mu$的大小是$ij-1$，加1后就是$ij$），所以$2ij-1=2n-1$。

完成归纳

根据归纳假设，$\sum_{x∈μ}(h(x)²−c(x)²)=(n-1)^2$，所以：
$$
\sum_{x∈λ}(h(x)²−c(x)²)=(n-1)^2 + (2n-1)=n^{2-2n+1+2n-1=n}2=|λ|²
$$
等式成立！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Naweed G. Seldon