电视游戏节目决赛选手积分占比相关数学问题咨询

首先，我们把选手分成两个明确的组别来简化问题：

• A组：排名第1至第N-10位的选手，共 ( k = N - 10 ) 人
• B组：排名第N-9至第N位的选手，共 ( m = 10 ) 人

核心规则拆解 #

根据题目要求：

• A组每位选手的总积分，50%来自与B组的比赛，剩余50%来自A组内部的比赛
• B组每位选手的总积分，同理50%来自与A组的比赛，剩余50%来自B组内部的比赛

每场比赛无论胜负平，双方总积分之和固定为10分（胜方10+负方0=10，平局双方各5分总和10），这是关键的积分守恒条件。

步骤1：推导A组总积分 #

A组内部共有 ( \binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2} ) 场比赛，总积分总和为 ( 10 \times \binom{k}{2} = 5k(k-1) )。

根据规则，A组所有选手从内部比赛获得的积分总和，等于他们总积分的50%。设A组总积分总和为 ( \sum S_i )（( S_i ) 为A组第i位选手的总积分），则：

5k(k-1) = 0.5 × ∑S_i

整理得：

∑S_i = 10k(k-1)

步骤2：推导B组总积分的两个表达式 #

首先，A组与B组之间共有 ( k \times 10 = 10k ) 场比赛，总积分总和为 ( 10 \times 10k = 100k )。A组从B组获得的积分总和是 ( 0.5 \times \sum S_i = 5k(k-1) )，因此B组从A组获得的积分总和为：

100k - 5k(k-1) = 105k - 5k²

根据规则，B组所有选手从A组获得的积分总和等于他们总积分的50%。设B组总积分总和为 ( \sum T_j )（( T_j ) 为B组第j位选手的总积分），则：

0.5 × ∑T_j = 105k - 5k²
→ ∑T_j = 210k - 10k²

另一方面，B组内部共有 ( \binom{10}{2} = 45 ) 场比赛，总积分总和为 ( 10 \times 45 = 450 )。同理，这部分积分等于B组总积分的50%：

450 = 0.5 × ∑T_j
→ ∑T_j = 900

步骤3：求解N的可能值 #

联立B组总积分的两个表达式：

210k - 10k² = 900

整理为标准二次方程：

k² - 21k + 90 = 0

求解得：

k = [21 ± √(21² - 4×1×90)] / 2 = [21 ± 9]/2

即 ( k = 15 ) 或 ( k = 6 )。

对应总选手数 ( N = k + 10 )，因此：

• 当 ( k=15 ) 时，( N=25 )
• 当 ( k=6 ) 时，( N=16 )

验证合理性 #

两种情况均满足实际比赛积分逻辑：

1. N=25（A组15人，B组10人）
   • A组每位选手平均总积分 ( 2100/15=140 )，其中70分来自与B组的10场比赛（例如7胜3负、或6胜2平2负等组合）
   • B组每位选手平均总积分 ( 900/10=90 )，其中45分来自与A组的15场比赛（例如9场平局、或3胜3平6负等组合）
2. N=16（A组6人，B组10人）
   • A组每位选手平均总积分 ( 300/6=50 )，其中25分来自与B组的10场比赛（例如5场平局、或2胜1平7负等组合）
   • B组每位选手平均总积分 ( 900/10=90 )，其中45分来自与A组的6场比赛（例如4胜1平1负、或3胜3平0负等组合）

两种情况都完全符合积分规则，不存在逻辑矛盾。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marius Stephant