如何求解含实参数α、β的下述无穷极限

咱们一步步来拆解这个问题，核心方法是利用大n下的求和渐近近似（黎曼和思路，当n趋向无穷时，离散求和可以用积分近似，高阶小项可忽略），不过要分情况讨论α和β的取值：

情况1：$\boldsymbol{\alpha \neq -1}$ 且 $\boldsymbol{\beta \neq -1}$ #

首先处理分子的求和 $\sum_{i=0}^n (2i+1)^\alpha$，这是前n+1个奇数的α次幂之和，我们可以把它转化为全体正整数求和减去偶数求和：
$$
\sum_{i=0}^n (2i+1)^\alpha = \sum_{k=1}^{2n+1} k^\alpha - \sum_{k=1}^n (2k)^\alpha
$$
当n→∞时，$2n+1 \approx 2n$，而对于$\sum_{k=1}^m k^\alpha$，渐近近似为 $\frac{m^{{\alpha+1}}{\alpha+1}$（对应黎曼和$\sum_{k=1}}m k^\alpha \sim \int_0^m x^\alpha dx$）。代入后：
$$
\sum_{k=1}^{2n+1} k^\alpha \sim \frac{(2n)^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \quad \sum_{k=1}^n (2k)^\alpha = 2^\alpha \sum_{k=1}^n k^\alpha \sim 2^\alpha \cdot \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}
$$
化简分子求和：
$$
\sum_{i=0}^n (2i+1)^\alpha \sim \frac{(2n)^{\alpha+1} - 2^\alpha n^{\alpha+1}}{\alpha+1} = \frac{2^\alpha n^{\alpha+1}}{\alpha+1}
$$

接下来处理分母的求和 $\sum_{i=1}^n (2i)^\beta = 2^\beta \sum_{i=1}^n i^\beta$，同样用渐近近似：
$$
\sum_{i=1}^n i^\beta \sim \frac{n^{\beta+1}}{\beta+1} \implies \sum_{i=1}^n (2i)^\beta \sim \frac{2^\beta}{\beta+1} n^{\beta+1}
$$

把两个近似代入原极限，n的指数部分会完全抵消（$(\alpha+1)(\beta+1)-(\beta+1)(\alpha+1)=0$），最终得到极限值：
$$
\lim_{n\rightarrow\infty} \cdots = 2^{\alpha - \beta} \cdot \frac{(\beta+1)^{{\alpha+1}}{(\alpha+1)}{\beta+1}}
$$

情况2：$\boldsymbol{\alpha = -1}$ 且 $\boldsymbol{\beta = -1}$ #

此时原极限变为：
$$
\frac{[\sum_{i=0}^n (2i+1)^{-1}]{0}}{[\sum_{i=1}^n (2i)^{-1}]{0}}
$$
任何正实数的0次方都是1，两个求和均为正发散序列，因此极限为$\boldsymbol{1}$。

情况3：$\boldsymbol{\alpha = -1}$，$\boldsymbol{\beta \neq -1}$ #

当α=-1时，分子的奇数倒数和渐近行为是$\sim \frac{1}{2}\ln n$（常数项大n下可忽略）：

• 若$\boldsymbol{\beta > -1}$：分母求和$\sim \frac{2^{\beta}{\beta+1}n}{\beta+1}$，其$(\alpha+1)=0$次方为1；分子的$(\beta+1)$次方是$(\frac{1}{2}\ln n)^{\beta+1}$，n→∞时趋向+∞，极限为$\boldsymbol{+\infty}$。
• 若$\boldsymbol{\beta < -1}$：分子的$(\beta+1)$次方是负指数的对数项，n→∞时趋向0，极限为$\boldsymbol{0}$。

情况4：$\boldsymbol{\beta = -1}$，$\boldsymbol{\alpha \neq -1}$ #

当β=-1时，分母的偶数倒数和渐近行为是$\sim \frac{1}{2}\ln n$：

• 若$\boldsymbol{\alpha > -1}$：分子求和$\sim \frac{2^{\alpha}{\alpha+1}n}{\alpha+1}$，其$(\beta+1)=0$次方为1；分母的$(\alpha+1)$次方是$(\frac{1}{2}\ln n)^{\alpha+1}$，n→∞时趋向+∞，极限为$\boldsymbol{0}$。
• 若$\boldsymbol{\alpha < -1}$：分母的$(\alpha+1)$次方是负指数的对数项，n→∞时趋向0，极限为$\boldsymbol{+\infty}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者糯米非米