两个代数的直积是否仍为代数？交换环上R-代数直积与张量积关系

嘿，让我来一步步拆解你的这两个代数问题，都是代数入门里很关键的基础点：

1. 两个代数的直积是否仍然是代数？ #

答案是肯定的，不过我们先默认这里说的是结合代数（这是代数里最常用的类型，除非特别说明非结合的情况）。假设我们有两个域$k$上的结合代数$A$和$B$，给直积$A\times B$赋予下面的自然运算，它就会成为一个$k$-代数：

• 加法：按分量相加，即$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$
• 数乘：域$k$中的元素$c$作用在直积上是$c(a,b)=(ca,cb)$
• 乘法：按分量相乘，即$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$

你可以轻松验证这些运算满足结合代数的所有公理：加法构成交换群、数乘满足线性性、乘法满足结合律，还有乘法对加法的左右分配律。如果$A$和$B$带单位元，那$A\times B$的单位元就是$(1_A,1_B)$，其中$1_A$、$1_B$分别是$A$、$B$的单位元。

要是你问的是非结合代数（比如李代数、约旦代数），同样可以按分量定义对应的非结合运算，直积也会是同类型的非结合代数——比如李代数的直积，括号运算就是$[(a_1,b_1),(a_2,b_2)]=([a_1,a_2],[b_1,b_2])$，完全满足李代数的公理。

2. 交换环$R$上的$R$-代数$A\times B$是否仍为$R$-代数？以及它和$A\otimes_R B$的关系？ #

第一部分：$A\times B$是$R$-代数吗？ #

当然是！和域上的逻辑一致，我们给$A\times B$定义$R$-模结构和乘法：

• $R$-模结构：加法还是分量相加，$R$中元素$r$的数乘是$r(a,b)=(ra,rb)$，这显然是一个合法的$R$-模。
• 乘法：依旧按分量相乘$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$，而且满足$R$-代数的核心条件：
  • $r[(a_1,b_1)(a_2,b_2)]=(ra_1a_2,rb_1b_2)=(ra_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1,b_1)(ra_2,b_2)$（数乘和乘法的相容性）
  • 乘法对加法的左右分配律直接由$A$、$B$本身的分配律推导而来。

如果$A$、$B$是带单位元的$R$-代数，$A\times B$的单位元就是$(1_A,1_B)$，完美满足单位元的定义。

第二部分：$A\times B$与$A\otimes_R B$的关系？ #

这俩是完全不同的$R$-代数，但有不少值得注意的联系和区别：

1. 自然同态的差异：

   • 从$A\times B$到$A$、$B$有满的$R$-代数投影同态：$\pi_A:A\times B\to A, (a,b)\mapsto a$；$\pi_B:A\times B\to B, (a,b)\mapsto b$。
   • 反过来，$A$、$B$可以嵌入到$A\times B$中：$i_A:A\to A\times B, a\mapsto(a,0)$；$i_B:B\to A\times B, b\mapsto(0,b)$——但要注意，$i_A(A)$和$i_B(B)$在$A\times B$里是正交理想，也就是它们的乘积是零：$i_A(a)i_B(b)=(0,0)$。

2. 泛性质的本质区别：

   • $A\otimes_R B$是$R$-代数的张量积，它的核心是双线性映射的泛性质：任何从$A\times B$到另一个$R$-代数$C$的$R$-双线性代数同态，都能唯一通过$A\otimes_R B$分解。
   • $A\times B$是$R$-代数的直积，它的核心是投影的泛性质：任何一对从$R$-代数$C$到$A$、$B$的同态$f:C\to A$、$g:C\to B$，都能唯一找到一个同态$h:C\to A\times B$，使得$\pi_A\circ h=f$、$\pi_B\circ h=g$。

3. 结构与零因子的差异：
   $A\times B$里有大量“平凡”的零因子，比如只要$a\neq0$、$b\neq0$，$(a,0)(0,b)=(0,0)$；而$A\otimes_R B$的零因子情况就复杂多了——比如当$A$、$B$都是整环时，$A\otimes_R B$可能是整环，也可能不是，但绝不会有直积这种“分量正交”的零因子。

举个具体的例子帮你理解：取$R=\mathbb{Z}$，$A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，$B=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。根据中国剩余定理，$A\times B\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$；但$A\otimes_{\mathbb{Z}} B$却是零代数——因为$2(a\otimes b)=0$，$3(a\otimes b)=0$，而$1=3-2$，所以$1(a\otimes b)=0$，整个张量积都是零。这就直观体现了两者的巨大差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者luw