行列式简短不等式证明问询：已知|det(A+zB)|≤1证|det(A)|≤1

嘿，你的反证法思路方向完全正确，咱们把细节补全，就能顺利推出结论啦：

已知 (A, B \in M_n(\mathbb{C}))，对任意满足 (|z|=1) 的 (z\in\mathbb{C})，有
$$|\det(A+zB)|\leq1$$
需证明 (|\det(A)|\le1)。

你的思路的正确性验证 #

你选择反证法是非常合适的，这里我们调整一下假设的严谨性：假设 (|\det(A)| > 1)（等于1的情况是允许的，比如当 (B=0) 时，原不等式直接给出 (|\det(A)| \le1)，等号成立）。

因为 (|\det(A)| >1)，所以 (A) 可逆，且 (|\det(A^{-1})| = \frac{1}{|\det(A)|} < 1)。利用行列式的乘法性质，将原不等式两边同时乘以 (|\det(A^{-1})|)，可得：
$$|\det(A^{-1}(A+zB))| = |\det(I_n + zBA^{-1})| = |\det(A^{-1})| \cdot |\det(A+zB)|$$
结合原条件 (|\det(A+zB)| \le1) 和 (|\det(A^{-1})| <1)，可以推出：
$$|\det(I_n + zC)| < 1 \quad \forall |z|=1$$
这里我们记 (C = BA^{-1})，问题就转化为分析这个关于 (z) 的行列式不等式。

利用最大模原理导出矛盾 #

设 (f(z) = \det(I_n + zC))，这是一个次数不超过n的多项式，因此它在闭单位圆盘 (|z| \le 1) 上是解析函数。根据最大模原理：

解析函数在闭圆盘上的最大模一定出现在圆盘的边界（即单位圆周 (|z|=1)）上，内部的模不可能超过边界的最大模。

但我们观察 (z=0) 时的函数值：
$$f(0) = \det(I_n + 0 \cdot C) = 1$$
这意味着在圆盘内部有一个点的函数模等于1，而我们之前已经得出边界上所有点的 (|f(z)| <1)，这直接与最大模原理矛盾。

结论 #

因此我们的假设 (|\det(A)| >1) 不成立，所以必然有 (|\det(A)| \le1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者razvanelda