已知$w = e^{i\frac{2\pi}{3}}$，求乘积$(1+w)\cdots(1+w^{100})$的$Re$与$Im$

让我们一步步把这个计算收尾，核心是先简化已知的推导式，再拆分复数的实部与虚部：

第一步：简化内层复数乘积 #

先处理你推导式里的核心括号部分：

$\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
这是一对共轭复数，计算方式很灵活：

• 直接展开乘法：(1/2)(1/2) + (1/2)(-i√3/2) + (i√3/2)(1/2) + (i√3/2)(-i√3/2)，虚部项会相互抵消，最终得到 $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
• 更快捷的方式：共轭复数相乘等于模的平方，这个复数的模是 $\sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = 1$，所以乘积就是 $1^2=1$

第二步：简化整体幂次项 #

把上面的结果代入你的推导式，括号内的整体就变成：
$1 \cdot 2 = 2$
原式因此简化为：
$2^{33} \cdot \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

第三步：计算实部和虚部 #

现在只需要把 $2^{33}$ 分别分配到复数的实部和虚部：

• 实部（Re）：$2^{33} \times \frac{1}{2} = 2^{{32}$（利用指数运算性质，$2}{33}/2=2^{33-1}=2{32}$）
• 虚部（Im）：$2^{33} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2^{32} \times \sqrt{3}$

额外验证逻辑 #

因为 $w = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ 是三次单位根，满足 $w^3=1$ 且周期为3，所以每3个连续项的乘积 $(1+w^k)(1+w{k+1})(1+w^{k+2})=2$；100项刚好是33组（99项）加1项，剩下的项是 $(1+w^{100})=(1+w{3\times33+1})=1+w=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$，和你的推导完全匹配，结果逻辑自洽。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者lumpir